Dada a superfície z = x 2 + y 2 , determinar a reta tangente às curvas de intersecção da superfície com:

a) o plano y = 5

no ponto P ( 2 ,   5 , 3 ) .

Passo 1

Como y é fixo, devemos analisar a derivada parcial de z em relação a x :

∂ z ∂ x = 1 2 √ ( x 2 + y 2 ) ⋅ 2 x = x x 2 + y 2

Aplicando o ponto P ( 2 ,   5 , 3 ) , temos:

∂ z ∂ y 2 , 5 = 2 2 2 + 5 2 = 2 3

Esse será o coeficiente a da nossa reta.

Passo 2

Para determinarmos a reta tangente, temos que calcular seu coeficiente b :

z = 2 3 x + b

No ponto P ( 2 ,   5 , 3 )

3 = 2 3 ⋅ 2 + b

b = 3 - 4 3 = 5 3

Resposta

z = 2 3 x + 5 3 y = 5

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