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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 21

Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:

21. ∫ C z d x + y d y - x d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 8 e x 2 + y 2 + z 2 - 8 z = 0 . Considere os dois possíveis sentidos de percurso.

Passo 1

Bom! Vamos lá pra mais um probleminha de integral de linha! Nós queremos trabalhar com a seguinte integral:

∫ C f → x , y , z d r →

E a nossa força f → x , y , z pela integral que vemos no enunciado:

∫ C z d x + y d y - x d z

Tiramos que é dada por:

f → x , y , z = ( z , y , - x )

Encerrada essa pequena introduçãozinha; vamos pro que realmente interessa.

Olha só! Já sabemos que a primeira coisa que temos que fazer é parametrizar a curva, que no nosso caso, é a intersecção das superfícies descritas no enunciado:

Passo 2

Vamos analisar agora, a primeira superfície:

y + z = 8

y = 8 - z

E depois, bora substituir esse valor na equação da segunda superfície:

x 2 + ( 8 - z ) 2 + z 2 - 8 z = 0

x 2 + 64 - 16 z + z 2 + z 2 - 8 z = 0

x 2 + 64 - 16 z + z 2 + z 2 - 8 z

x 2 + 2 z 2 - 24 z + 64 = 0

x 2 + 2 ( z - 6 ) 2 = 8

x 2 8 + z - 6 2 4 = 1

x 2 ( 2 2 ) 2 + z - 6 2 2 2 = 1

Isso aí é uma elipse de centro no ponto ( x = 0 ; z = 6 ) e mais achatadinha em x , porque ( 2 2 > 2 ) .

Agora, como sabemos que nossa curva é uma elipse, vamos nos lembrar do jeito pelo qual as elipses, com o formato x 2 a 2 + z 2 b 2 = 1   são parametrizadas:

x = x 0 + a t

z = z 0 + b t

x = 2 2 cos ⁡ t

z - 6 = 2 ⋅ sen ⁡ t → z = 6 + 2 sen ⁡ t

E como y = 8 - z :

y = 8 - z = 8 - ( 6 + 2 sen ⁡ t )

y = 2 - 2 sen ⁡ t

γ t = ( 2 2 cos ⁡ t , 2 - 2 sen ⁡ t , 6 + 2 sen ⁡ t )

Passo 3

O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização que obtivemos.

Onde temos que:

f → x , y , z = ( z , y , - x )

Assim, bora tratar de fazer a troca:

f → x , y = ( 6 + 2 sen ⁡ t , 2 - 2 sen ⁡ t , - 2 2 cos ⁡ t   )

Passo 4

Seguindo nosso raciocínio... O passo número quatro consiste em encontrar o termo d r → fazendo:

d r → = γ ' t d t

Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de γ t . Vamos lá:

γ ' ( t ) = ( - 2 2 sen ⁡ t , - 2 cos ⁡ t , 2 cos ⁡ t )

Passo 5

Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:

∫ C f → x , y d r → = ∫ t 1 t 2 f → x , y d r →

Pera! Mas quais são os limites de integração?

Ora bolas! A questão nos pede pra considerar os dois possíveis sentidos de percurso, indo de 0   até 2 π e de 2 π até 0 . Façamos primeiro com o limite de 0 até 2 π :

∫ C f → x , y , z d r → =

= ∫ 0 2 π ( ( 6 + 2 sen ⁡ t , 2 - 2 sen ⁡ t , - 2 2 cos ⁡ t   ) ( - 2 2 sen ⁡ t , - 2 cos ⁡ t , 2 cos ⁡ t ) ) d t =

= ∫ 0 2 π - 12 2 sen ⁡ t - 4 2 sen 2 ⁡ t - 4 cos ⁡ t + 4 cos ⁡ t s e n   t - 4 2 cos 2 ⁡ t d t =

= ∫ 0 2 π - 12 2 sen ⁡ t - 4 2 ( sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t ) - 4 cos ⁡ t + 4 cos ⁡ t s e n   t - 4 2 cos 2 ⁡ t d t =

= ∫ 0 2 π - 12 2 sen ⁡ t - 4 2 - 4 cos ⁡ t + 4 cos ⁡ t s e n   t d t =

= ∫ 0 2 π - 12 2 sen ⁡ t - 4 2 - 4 cos ⁡ t + 2   s e n   2 t d t =

= [ 12 2 c o s   t - 4 2 t - 4 sen ⁡ t - cos ⁡ 2 t ] 0 2 π =

= 12 2 c o s   2 π - 4 2 ⋅ 2 π - 4 sen ⁡ 2 π - cos ⁡ 2 π - 12 2 c o s   0 + 4 2 ⋅ 0 + 4 sen ⁡ 0 + cos ⁡ 0 =

= - 8 2 π

Se invertêssemos nosso caminho, com nosso limite de integração indo dessa vez, de 2 π até zero; a resposta seria, obviamente:

∫ 2 π 0 ( ( 6 + 2 sen ⁡ t , 2 - 2 sen ⁡ t , - 2 2 cos ⁡ t   ) ( - 2 2 sen ⁡ t , - 2 cos ⁡ t , 2 cos ⁡ t ) ) d t =

= - - 8 2 π = 8 2 π

Resposta

± 8 2 π

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