Calcular o volume da parte da esfera , que está entre os planos e .
Passo 1
A parte da esfera é delimitada superiormente por e inferiormente por . Temos que quando e , que está acima do plano limite . Desse modo, devemos descobrir o volume da parte acima do plano e subtraí-la do volume total da parte da esfera.
Assim, a equação do volume superior fica:
Passo 2
Agora, transformando para coordenadas polares, temos:
Então:
Desse modo, temos:
Passo 3
Integrando para :
Aplicando os limites:
Passo 4
Integrando para :
Aplicando os limites:
O volume superior é igual a .
Passo 5
Agora calcularemos o volume total:
Passo 6
Integrando para :
Aplicando os limites:
Passo 7
Integrando para :
Aplicando os limites:
O volume total é igual a .
Passo 8
Como queremos o volume da parte da esfera que está entre os planos e .