Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:23. ∫ C x d x + y d y + x d z , onde C é a intersecção das superfícies z = x 2 + y 2 e x = 2 do ponto A ( 2 ,- 12 ,4 ) ao ponto B ( 2 ,12 ,4 ) .

Enunciado

Bom! Vamos lá pra mais um probleminha de integral de linha! Nós queremos trabalhar com a seguinte integral:

E o nosso campo vetorial , pela integral que vemos no enunciado:

Tiramos que é dado por:

Encerrada essa pequena introduçãozinha; vamos pro que realmente interessa.

Olha só! Já sabemos que a primeira coisa que temos que fazer é parametrizar a curva, que no nosso caso, é a intersecção de duas superfícies:

Então, vamos analisar a primeira superfície:

E depois, dado que:

Bora substituir esse valor na nossa primeira equação:

Pronto! A variável está em função de agora. A melhor coisa a se fazer então, é chamar esse de . Obtemos assim, a seguinte parametrização:

O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização que obtivemos.

Onde temos que:

E fazendo a troca pelos nossos valores paramétricos, obtemos que:

Seguindo nosso raciocínio... O passo número quatro consiste em encontrar o termo fazendo:

Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de . Vamos lá:

Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:

Pera! Mas quais são os limites de integração?

Ora bolas! Para achar os valores que queremos, basta substituir valores em e ver quais valores correspondem aos pontos do enunciado. Bora lá:

Para :

Nosso limite de integração, então vai de até :