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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.2 - Ex. 16

Nos exercícios de 11 a 31, calcular as integrais indefinidas.

16. ∫ 8 x 4 - 9 x 3 + 6 x 2 - 2 x + 1 x 2 d x  

Passo 1

Queremos integrar a função f x =   8 x 4 - 9 x 3 + 6 x 2 - 2 x + 1 x 2 .

Passo 2

Podemos separa os termos na integral da seguinte maneira:

∫ 8 x 4 - 9 x 3 + 6 x 2 - 2 x + 1 x 2 d x   = ∫ 8 x 4 x 2 - 9 x 3 x 2 + 6 x 2 x 2 - 2 x x 2 + 1 x 2 d x  

Podemos simplificar efetuando a divisão, então teremos:

∫ 8 x 4 x 2 - 9 x 3 x 2 + 6 x 2 x 2 - 2 x x 2 + 1 x 2 d x   = ∫ 8 x 2 - 9 x + 6 - 2 1 x + 1 x 2 d x  

Sabemos que a integral da soma é a soma das integrais, assim podemos reescrever da seguinte forma:

∫ 8 x 2 - 9 x + 6 - 2 1 x + 1 x 2 d x   = ∫ 8 x 2 d x - ∫ 9 x d x + 6 ∫ d x - 2 ∫ 1 x d x + ∫ 1 x 2 d x

Aqui, as integrais são simples de resolver, dessa forma a integra separada de cada um é a seguinte:

∫ 8 x 2 d x = 8 3 x 3

- ∫ 9 x d x = - 9 2 x 2

6 ∫ d x = 6 x

- 2 ∫ 1 x d x = - 2 ln ⁡ x

∫ 1 x 2 d x = - 1 x

Temos então que:

∫ 8 x 4 - 9 x 3 + 6 x 2 - 2 x + 1 x 2 d x   = 8 3 x 3 - 9 2 x 2 + 6 x - 2 ln ⁡ x - 1 x + c

Resposta

∫ 8 x 4 - 9 x 3 + 6 x 2 - 2 x + 1 x 2 d x   = 8 3 x 3 - 9 2 x 2 + 6 x - 2 ln ⁡ x - 1 x + c

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5. a) Verifique que sin 2 ⁡ x = 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 x
6. Calcule i ) ∫ ( 5 + s e n3 x ) 2 d x
7. Calcule c ) ∫ ( sin ⁡ x + cos ⁡ x ) 2 d x
6. Calcule g ) ∫ ( sin ⁡ x + cos ⁡ x ) 2 d x
6. Calcule a ) ∫ cos 2 ⁡ 2 xd x