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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.5 - Ex. 30

Nos exercícios de 17 a 30, calcule a derivada indicada.

30 .     D y t g y + 1 t g y - 1

Passo 1

Para realizar essa derivada vamos usar a regra do cociente.

Regra do quoociente:

D x f x g x =   D x f ( x ) ⋅ g ( x ) -   D x g ( x ) ⋅ f ( x ) g ( x ) 2

Passo 2

Aplicando na expressão que temos:

  D y t g y + 1 t g y - 1

= D y ( t g y + 1 ) ⋅ ( t g y - 1 ) -   D y t g y - 1 ⋅ t g y + 1 t g y - 1 2

Passo 3

Sabemos que:

t g y = s e n y c o s y

Assim sua derivada pode ser calculada através da regra do quociente.

D y t g y = D y s e n y c o s y

= D y s e n y ⋅ c o s y - D y c o s y ⋅ s e n y c o s y 2

= c o s y ⋅ c o s y - - s e n y ⋅ s e n y c o s y 2

= co s 2 ⁡ y + s e n 2 y cos 2 ⁡ y

Uma identidade trigonométrica que precisamos é:

co s 2 ⁡ y + s e n 2 y = 1  

Substuindo na expressão acima:

D y t g y = co s 2 ⁡ y + s e n 2 y cos 2 ⁡ y = 1 c o s 2 y = s e c 2 y

Passo 4

1º derivando D y ( t g y + 1 ) :

D y t g y + 1 = D y t g y + D y 1

= s e c 2 y + 0

= s e c 2 y

Passo 5

2º derivando D y t g y - 1 :

D y t g y - 1 = D y t g y - D y 1

= s e c 2 y - 0

= s e c 2 y

Passo 6

Substituindo na expressão inicial:

D y ( t g y + 1 ) ⋅ ( t g y - 1 ) -   D y t g y - 1 ⋅ t g y + 1 t g y - 1 2

= s e c 2 y ⋅ t g y - 1 - s e c 2 y ⋅ t g y + 1 t g y - 1 2

= t g y ⋅ s e c 2 y - s e c 2 y - t g y ⋅ s e c 2 y - s e c 2 y t g y - 1 2

= - 2 s e c 2 y t g y - 1 2

Resposta

  D y t g y + 1 t g y - 1 = - 2 s e c 2 y t g y - 1 2

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