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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.5 - Ex. 29

Nos exercícios de 17 a 30, calcule derivada indicada.

29 .     D t 2 c o s e c t - 1 c o s e c t + 2

Passo 1

Para realizar essa derivada vamos usar a regra do cociente.

Regra do quoociente:

D x f x g x =   D x f ( x ) ⋅ g ( x ) -   D x g ( x ) ⋅ f ( x ) g ( x ) 2

Passo 2

Aplicando na expressão que temos:

  D t 2 c o s e c t - 1 c o s e c t + 2

= D t 2 c o s e c t - 1 ⋅ ( c o s e c t + 2 ) -   D t c o s e c t + 2 ⋅ 2 c o s e c t - 1 c o s e c t + 2 2

Passo 3

Sabemos que:

c o s e c t = 1 s e n t

Assim sua derivada pode ser calculada através da regra do quociente.

D t c o s e c t = D t 1 s e n t

                                            = D x 1 ⋅ s e n t -   D x s e n t ⋅ ( 1 ) s e n t 2

                                            = 0 ⋅ s e n t - c o s t ⋅ 1 s e n t 2

                                            = - c o s t s e n t 2

                                            = - c o s t s e n t ⋅ 1 s e n t = - c o t g t ⋅ c o s e c t

Passo 4

1º derivando D t 2 c o s e c t - 1 :

D t 2 c o s e c t - 1 = 2 ⋅ D t c o s e c t - D t 1

= 2 - c o t g t ⋅ c o s e c t - 0

= - 2 c o t g t ⋅ c o s e c t

Passo 5

2º derivando D t c o s e c t + 2 :

D t c o s e c t + 2 = D t c o s e c t + D t 2

= - c o t g t ⋅ c o s e c t - 0

= - c o t g t ⋅ c o s e c t

Passo 6

Substituindo na expressão inicial:

D t 2 c o s e c t - 1 ⋅ ( c o s e c t + 2 ) -   D t c o s e c t + 2 ⋅ 2 c o s e c t - 1 c o s e c t + 2 2

= - 2 c o t g t ⋅ c o s e c t ⋅ c o s e c t + 2 - - c o t g t ⋅ c o s e c t ⋅ 2 c o s e c t - 1 c o s e c t + 2 2

= - 2 c o t g t ⋅ c o s e c 2 t - 4 c o t g t ⋅ c o s e c t + 2 c o t g t ⋅ c o s e c 2 t - c o t g t ⋅ c o s e c t c o s e c t + 2 2

= - 5 c o t g t ⋅ c o s e c t c o s e c t + 2 2

Resposta

D t 2 c o s e c t - 1 c o s e c t + 2 = - 5 c o t g t ⋅ c o s e c t c o s e c t + 2 2

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