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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.4 - Ex. 15

Encontre f ' ( x ) :

f (x) = (( 2 sqrt(x) + 1 ) ( x - 1 ))/(x + 3)

Passo 1

Para encontrar a derivada dessa função, vamos usar a regra do quociente:

f (x) = (( 2 sqrt(x) + 1 ) ( x - 1 ))/(x + 3)

Pela regra do quociente:

f^' (x) = ((( 2 sqrt(x) + 1 ) ( x - 1 ))^' (x + 3) - (( 2 sqrt(x) + 1 ) ( x - 1 )) (x + 3)^')/((x + 3)^2)

Opa, mas para saber a derivada do denominador, vamos precisar da regra do produto:

(( 2 sqrt(x) + 1 ) ( x - 1 ))^' = (2 sqrt(x) + 1)^' (x - 1) + ( 2 sqrt(x) + 1 ) ( x - 1 ) '

((2 sqrt(x) + 1) (x - 1))^' = ((1)/(x^((1)/(2)))) (x - 1) + (2 sqrt(x) + 1) (1)

((2 sqrt(x) + 1) (x - 1))^' = x^((1)/(2)) - (1)/(x^((1)/(2))) + 2 x^((1)/(2)) + 1

:.

((2 sqrt(x) + 1) (x - 1))^' = 3 x^((1)/(2)) - (1)/(x^((1)/(2))) + 1 = 3 x^((1)/(2)) - x^(- (1)/(2)) + 1

Passo 2

Agora que temos a derivada que precisávamos, vamos continuar da regra do quociente:

f^' (x) = ((( 2 sqrt(x) + 1 ) ( x - 1 ))^' (x + 3) - (( 2 sqrt(x) + 1 ) ( x - 1 )) (x + 3)^')/((x + 3)^2)

f^' (x) = ((3 x^((1)/(2)) - x^(- (1)/(2)) + 1) (x + 3) - (( 2 x^((1)/(2)) + 1 ) ( x - 1 )) (1))/((x + 3)^2)

f^' (x) = (3 x^((3)/(2)) - x^((1)/(2)) + x + 9 x^((1)/(2)) - 3 x^(- (1)/(2)) + 3 - 2 x^((3)/(2)) + 2 x^((1)/(2)) - x + 1)/((x + 3)^2)

:.

f^' (x) = (x^((3)/(2)) + 10 x^((1)/(2)) - 3 x^(- (1)/(2)) + 4)/((x + 3)^2)

Resposta

f^' (x) = (x^((3)/(2)) + 10 x^((1)/(2)) - 3 x^(- (1)/(2)) + 4)/((x + 3)^2)

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