Encontre f ' ( x ) :

f (x) = (( 2 sqrt(x) + 1 ) ( x - 1 ))/(x + 3)

Passo 1

Para encontrar a derivada dessa função, vamos usar a regra do quociente:

f (x) = (( 2 sqrt(x) + 1 ) ( x - 1 ))/(x + 3)

Pela regra do quociente:

f^' (x) = ((( 2 sqrt(x) + 1 ) ( x - 1 ))^' (x + 3) - (( 2 sqrt(x) + 1 ) ( x - 1 )) (x + 3)^')/((x + 3)^2)

Opa, mas para saber a derivada do denominador, vamos precisar da regra do produto:

(( 2 sqrt(x) + 1 ) ( x - 1 ))^' = (2 sqrt(x) + 1)^' (x - 1) + ( 2 sqrt(x) + 1 ) ( x - 1 ) '

((2 sqrt(x) + 1) (x - 1))^' = ((1)/(x^((1)/(2)))) (x - 1) + (2 sqrt(x) + 1) (1)

((2 sqrt(x) + 1) (x - 1))^' = x^((1)/(2)) - (1)/(x^((1)/(2))) + 2 x^((1)/(2)) + 1

:.

((2 sqrt(x) + 1) (x - 1))^' = 3 x^((1)/(2)) - (1)/(x^((1)/(2))) + 1 = 3 x^((1)/(2)) - x^(- (1)/(2)) + 1

Passo 2

Agora que temos a derivada que precisávamos, vamos continuar da regra do quociente:

f^' (x) = ((( 2 sqrt(x) + 1 ) ( x - 1 ))^' (x + 3) - (( 2 sqrt(x) + 1 ) ( x - 1 )) (x + 3)^')/((x + 3)^2)

f^' (x) = ((3 x^((1)/(2)) - x^(- (1)/(2)) + 1) (x + 3) - (( 2 x^((1)/(2)) + 1 ) ( x - 1 )) (1))/((x + 3)^2)

f^' (x) = (3 x^((3)/(2)) - x^((1)/(2)) + x + 9 x^((1)/(2)) - 3 x^(- (1)/(2)) + 3 - 2 x^((3)/(2)) + 2 x^((1)/(2)) - x + 1)/((x + 3)^2)

:.

f^' (x) = (x^((3)/(2)) + 10 x^((1)/(2)) - 3 x^(- (1)/(2)) + 4)/((x + 3)^2)

Resposta

f^' (x) = (x^((3)/(2)) + 10 x^((1)/(2)) - 3 x^(- (1)/(2)) + 4)/((x + 3)^2)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a primeira e a segunda derivadas das funções nos Exercícios 45-52. s = t 2 + 5 t - 1 t 2
Determine a primeira e a segunda derivadas das funções nos Exercícios 45-52. w = e z z + 1 z 2 + 1
Suponha que u e v sejam funções de x deriváveis em x = 0 e que. u 0 = 5 ,u ' 0 = - 3 ,v 0 = - 1 ,v ' 0 = 2 .Detetermine os valores das derivadas a seguir em x = 0 . d d x u v d d x u v d d x v u d d x
Determine a primeira e a segunda derivadas das funções nos Exercícios 45-52. p = q 2 + 3 q - 1 3 + q + 1 3
Regra da potência para inteiros negativos Use a regra da derivada do quociente para provar a regra da potência para inteiros negativos, isto é, d d x x - m = - m x - m - 1 em que m é um número inteiro