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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.5 - Ex. 43b

43. b) Ache

underset(h -> 0)(lim) (s e n ((pi)/(3) + h) - s e n ((pi)/(3)))/(h) ,

Interpretando-o como uma derivada.

Passo 1

Primeiro vamos lembrar da definição de derivada:

f^' (x) = underset(x -> 0)(l i m) (f (x + h) - f (x))/(h)

Comparando com a expressão que temos do enunciado a função f (x) = s e n x e o x = (pi)/(3) . Assim temos a seguinte igualdade:

f^' ((pi)/(3)) = underset(h -> 0)(lim) (s e n ((pi)/(3) + h) - s e n ((pi)/(3)))/(h)

Então para achar o limite, basta calcular a derivada de f (x) = s e n x , em x = (pi)/(3) .

Passo 2

Derivando:

f (x) = s e n x

f^' (x) = c o s x

Passo 3

Agora vamos calcular f’(x) para x = (pi)/(3) :

f^' (x) = c o s x

f^' ((pi)/(3)) = cos ((pi)/(3))

= (1)/(2)

Resposta

underset(h -> 0)(lim) (s e n ((pi)/(3) + h) - s e n ((pi)/(3)))/(h) = (1)/(2)

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