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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.5 - Ex. 38

Nos exercícios de 31 a 42, ache f’(a) para o valor de f’(a).

38. f x = c o s x + 1 x ⋅ s e n x - 1 ;     a = π 2

Passo 1

Para calcular essa derivada, vamos usar a regra do produto.

Regra do produto:

f x ⋅ g x '   = f x   ' ⋅ g x + g x ' ⋅ f x

Passo 2

Neste caso iremos aplicar a regra do produto duas vezes.

Derivando:

f ' x = c o s x + 1   ' ⋅ x ⋅ s e n x - 1 + x ⋅ s e n x - 1 ' ⋅ c o s x + 1

= - s e n x + 0 ⋅ x s e n x - 1 + x ' ⋅ s e n x + x ⋅ s e n x ' - ( 1 ) ' ⋅ ( c o s x + 1 )

= - s e n x ⋅ x s e n x - 1 + s e n x + x c o s x - 0 ⋅ c o s x + 1

= - x s e n 2 x + s e n x + s e n x ⋅ c o s x + s e n x + x c o s 2 x + x c o s x

= - x s e n 2 x + 2 s e n x + s e n x ⋅ c o s x + x c o s 2 x + x c o s x

Passo 3

Agora vamos calcular f’(a) para a = π 2 :

f ' x = - x s e n 2 x + 2 s e n x + s e n x ⋅ c o s x + x c o s 2 x + x c o s x

f ' π 2 = - π 2 s e n 2 π 2 + 2 s e n π 2 + s e n π 2 c o s π 2 + π 2 c o s 2 π 2 + π 2 c o s π 2

                          = - π 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 + π 2 ⋅ 0 + π 2 ⋅ 0

                            = - π 2 + 2 + 0 + 0 + 0

                            = 2 - π 2

Resposta

f ' π 2 = 2 - π 2

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3 – 26 Derive.24. F (t) = (A t)/(B t^2 + C t^3)
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44. Suponha que f 4 = 2 ,g 4 = 5 ,f ' 4 = 6 , e g ' 4 = - 3 . Encontre h ' 4 .(d) h x = g x f x + g x
3 – 26 Derive.23. f x = x 2 e x x 2 + e x
27 – 30 Encontre f ' x e f ' ' x .29. f x = x 2 1 + e x