Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 65
65- Seja para .
a)Encontre o valor de para que atinge seu valor mínimo.
b)Encontre os intervalos nos quais é somente crescente ou somente decrescente.
c) Encontre os intervalos abertos nos quais é somente côncava para cima ou somente côncava para baixo.
Passo 1
a)Galerinha, a primeira coisa que nós temos que fazer aqui é encontrar , mas isso é fácil né?! Porque nós temos a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo que nos diz isso aqui:
Dessa forma,
Agora, nós precisamos achar os pontos críticos dessa função, que são aqueles em ou os pontos em que não é diferenciável. Certo ?
Para , não é diferenciável. Então:
No entanto, não existe nenhum valor que satisfaça essa equação. Portanto, só temos um ponto crítico, quando .
Para vermos se esse é um ponto em que atinge seu valor mínimo, nós temos que fazer um estudo de sinal da função. Isso quer dizer que vamos testar um ponto à esquerda do 3 e outro à direita e vermos como se comporta.
-Para :
-Para :
Bom, como vai de um valor negativo para um positivo, em a nossa função atinge seu valor mínimo.
Passo 2
b)Crianças, vamos fazer um quadro de sinais para e checar os intervalos onde essa função é crescente ou decrescente:
Dessa forma, a função é crescente no seguinte intervalo:
E, decrescente no seguinte intervalo:
Passo 3
c)Aqui, vamos achar a segunda derivada de :
Bom, nós fizemos isso para fazer o teste da segunda derivada, ou seja, achar os pontos de inflexão, onde a função muda a sua concavidade. Para isso, vamos igualar à zero e, depois fazer um quadro de sinais.
Fazendo o quadro de sinais:
Galerissss, quando a nossa função é côncava para baixo, já quando a nossa função é côncava para cima.
Resposta
a)
b), .
c), .