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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 31

Nos Exercícios de 21 a 36, use o método desta secção para calcular a área da região dada; use retângulos inscritos ou circunscritos, conforme inficado. Para cada exercício, faça uma figura mostrando a região e o i-ésimo retângulo.

31. A região limitada por y = x 3 , pelo eixo x e as retas x = - 1 e x = 2 ; retângulos inscritos.

Passo 1

A região do exercício é:

A região e o i-ésimo retângulo inscrito estão na figura. Porém no intervalo de [ - 1,0 ] a função é negativa, devido a isso vamos ter que calcular duas somas, uma para o intervalo em que a função é positiva e o que é negativa. No intervalo onde a função é negativa, iremos fazer a soma com o limite negativo para pegar o valor positivo da área.

Passo 2

Vamos começar calculando a área do intervalo [ - 1,0 ] .

Δ x = 0 - ( - 1 ) n = 1 n

f x i - 1 = - 1 + ( i - 1 ) 1 n ⏟ x i - 1 3 = i - ( n + 1 ) n 3 = i 3 - 3 i 2 n + 1 + 3 i n + 1 2 - n + 1 3 n 3

A 1 = - lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i - 1 Δ x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i 3 - 3 i 2 n + 1 + 3 i n + 1 2 - n + 1 3 n 3 1 n  

A 1 = - lim n → + ∞ ⁡ 1 n 4 ∑ i = 1 n i 3 - 3 i 2 n + 1 + 3 i n + 1 2 - n + 1 3  

A 1 = - lim n → + ∞ 1 n 4 ⁡ ∑ i = 1 n i 3 - 3 ( n + 1 ) ∑ i = 1 n i 2 + 3 n + 1 2 ∑ i = 1 n i - n + 1 3 ∑ i = 1 n 1

Agora vamos usar as fórmulas dos somatórios e calcular o limite.

∑ i = 1 n 1 ⏞ I = n                                 ∑ i = 1 n i ⏞ = I I n ( n + 1 ) 2                           ∑ i = 1 n i 2 ⏞ I I I = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6

∑ i = 1 n i 3 ⏞ I V = n 2 n + 1 2 4    

A 1 = - lim n → + ∞ 1 n 4 ⁡ n 2 n + 1 2 4 - 3 ( n + 1 ) n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 + 3 n + 1 2 n ( n + 1 ) 2 - n + 1 3 n

A 1 = - lim n → + ∞ ⁡ n 2 n 2 1 + 1 n 2 4 - n n 1 + 1 n 2 2 + 1 n 2 + 3 n n 1 + 1 n 3 2 - 1 + 1 n 3 n n  

A 1 = - ⁡ 1 + 0 2 4 - 1 + 0 2 2 + 0 2 + 3 1 + 0 3 2 - 1 + 0 3 1  

A 1 = - ⁡ 1 4 - 1 + 3 2 - 1 = 1 4

Portanto, essa é a área no intervalo [ - 1,0 ] .

Passo 3

Agora será a área do intervalo [ 0,2 ] .

Δ x = 2 - 0 n = 2 n

f x i - 1 = 0 + ( i - 1 ) 2 n ⏟ x i - 1 3 = 8 n 3 ( i - 1 ) 3 = 8 n 3 ( i 3 - 3 i 2 + 3 i - 1 )

A 2 = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i - 1 Δ x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 8 n 3 ( i 3 - 3 i 2 + 3 i - 1 ) 2 n  

A 2 = lim n → + ∞ 16 n 4 ⁡ ∑ i = 1 n ( i 3 - 3 i 2 + 3 i - 1 )  

A 2 = lim n → + ∞ 16 n 4 ⁡ ∑ i = 1 n i 3 - 3 ∑ i = 1 n i 2 + 3 ∑ i = 1 n i - ∑ i = 1 n 1

Agora vamos usar as fórmulas dos somatórios e calcular o limite.

∑ i = 1 n 1 ⏞ I = n                                 ∑ i = 1 n i ⏞ = I I n ( n + 1 ) 2                           ∑ i = 1 n i 2 ⏞ I I I = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6

∑ i = 1 n i 3 ⏞ I V = n 2 n + 1 2 4    

A 2 = lim n → + ∞ 16 n 4 ⁡ n 2 n + 1 2 4 - 3 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 + 3 n ( n + 1 ) 2 - n

A 2 = lim n → + ∞ 16 ⁡ n 2 n 2 1 + 1 n 2 4 - 3 n n 2 1 + 1 n 2 + 1 n 6 + 3 n n 3 1 + 1 n 2 - n n 4

A 2 = 16 ⁡ 1 + 0 2 4 - 3 0 1 + 0 2 + 0 6 + 3 0 1 + 0 2 - 0

A 2 = ⁡ 16 4 = 4

Logo, a área A 2 é 4   u . a .

Passo 4

A área da região pedida é A = A 1 + A 2 = 1 4 + 4 = 17 4   u . a .

Resposta

A = 17 4   u . a

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