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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 40

Nos exercícios de 37 a 44, calcule a integral definida. (40) ∫ 1 5 4 x 3 - 1 2 x - 1 d x

Passo 1

Da integral dada,

f x = ∫ 1 5 4 x 3 - 1 2 x - 1 d x

Vamos usar a técnica da substituição de variáveis para calcular a integral. Seja u = 2 x - 1 → d u = 2 d x → d x = d u 2   e   x = ( u + 1 ) / 2   . Vamos agora reescrever a integral. Quando x = 1   → u = 1   e quando x = 5 → u = 9 .

f u = 1 2 ∫ 1 9 4 u + 1 3 8 - 1 u d u = 1 2 ∫ 1 9 4 u + 1 3 - 8 8 u d u = 1 4 ∫ 1 9 u + 1 3 u d u - 1 2 ∫ 1 9 d u u

Passo 2

Resolvendo a integral temos:

f u = 1 4 ∫ 1 9 u + 1 3 u d u - 1 2 ∫ 1 9 d u u

f u = 1 4 ∫ 1 9 u 2 + 3 u + 1 u + 3 d u - 1 2 ∫ 1 9 d u u f u = 1 4 u 3 3 + 3 u 2 2 + ln ⁡ u + 3 u 1 9 - 1 2 ln ⁡ u 1 9 f u = 1 4 9 3 3 + 3 * 9 3 2 + ln ⁡ 9 + 3 * 9 - 1 3 3 - 3 * 1 2 2 - ln ⁡ 1 - 3 - 1 2 ln ⁡ 9 + 1 2 ln ⁡ 1 f u = 1 4 243 + 243 2 + ln ⁡ 9 + 27 - 1 3 - 3 2 - 0 - 3 - 1 2 ln ⁡ 9 f u = 1 4 1160 3 + ln ⁡ 9 - ln ⁡ 9 2 f u = 1160 12 + ln ⁡ 9 4 - ln ⁡ 9 2 f u = 1160 - 3 ln ⁡ 9 12

Resposta

O resultado é:

∫ 1 5 4 x 3 - 1 2 x - 1 d x = 1160 - 3 ln ⁡ 9 12

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