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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.3 - Ex. 18

Nos Exercícios de 1 a 30, calcule a integral indefinida.

18 )   ∫ sec ⁡ 5 x + c o s e c   5 x 2 . d x  

Passo 1

Para começarmos a resolver a integral devemos primeiro abri-la:

∫ sec ² ⁡ 5 x + 2 . sec ⁡ 5 x . c o s e c   5 x + c o s e c ²   5 x . d x

∫ sec ² ⁡ 5 x . d x + 2 ∫ sec ⁡ 5 x . c o s e c   5 x . d x + ∫ c o s e c ²   5 x . d x

Agora vamos resolver cada uma delas separadamente. Primeiro:

∫ sec ² ⁡ 5 x . d x

Chamamos

u = 5 x

d u = 5 . d x  

d u 5 = d x

∫ sec ² ⁡ 5 x . d x = ∫ sec 2 ⁡ u . d u 5 = 1 5 ∫ sec 2 ⁡ u . d u = 1 5 . t g   u = 1 5 . t g   5 x

Passo 2

A próxima integral será:

2 ∫ sec ⁡ 5 x . c o s e c   5 x . d x

Substituindo:

sec ⁡ 5 x = 1 cos ⁡ 5 x

cosec ⁡ 5 x = 1 sen ⁡ 5 x

2 ∫ sec ⁡ 5 x . c o s e c   5 x . d x = 2 ∫ 1 cos ⁡ 5 x . 1 sen ⁡ 5 x . d x = 2 ∫ 1 cos ⁡ 5 x . sen ⁡ 5 x . d x

As propriedades trigonométricas nos dizem que:

cos ⁡ m x . sen ⁡ n x = 1 2 . s e n   m - n x + 1 2 . s e n   m + n x

cos ⁡ 5 x . sen ⁡ 5 x = 1 2 . s e n   0 + 1 2 . s e n   10 x

cos ⁡ 5 x . sen ⁡ 5 x = 1 2 . s e n   10 x

Substituindo na integral:

2 ∫ 1 cos ⁡ 5 x . sen ⁡ 5 x . d x = 4 ∫ 1 s e n   10 x . d x = 4 ∫ c o s e c   10 x . d x

Chamamos

u = 10 x

d u = 10 . d x  

d u 10 = d x

Na integral:

4 ∫ c o s e c   10 x . d x = 4 10 ∫ c o s e c   u . d u = 4 10 . ln ⁡ | c o s e c   u - c o t g   u |

2 ∫ sec ⁡ 5 x . c o s e c   5 x . d x = 4 10 . ln ⁡ | c o s e c   10 x - c o t g   10 x |

4 10 . ln ⁡ | c o s e c   10 x - c o t g   10 x | = 4 10 . ln ⁡ | 1 s e n   10 x - cos ⁡ 10 x s e n   10 x | = 4 10 . ln ⁡ | 1 - cos ⁡ 10 x s e n   10 x |

Usando as identidades:

1 - cos ⁡   10 x = 2 . s e n 2 ( 5 x )

s e n   10 x = 2 . s e n   5 x . cos ⁡ ( 5 x )

4 10 . ln ⁡ | 1 - cos ⁡ 10 x s e n   10 x | = 4 10 . ln ⁡ | 2 . s e n 2 ( 5 x ) 2 . s e n   5 x . cos ⁡ ( 5 x ) | = 4 10 . ln ⁡ | s e n ( 5 x ) cos ⁡ ( 5 x ) | = 4 10 . ln ⁡ | t g   ( 5 x ) | = 2 5 . ln ⁡ | t g   ( 5 x ) |

Passo 3

Para a última integral:

∫ c o s e c ²   5 x . d x

Chamamos

u = 5 x

d u = 5 . d x  

d u 5 = d x

∫ c o s e c ²   5 x . d x = 1 5 ∫ c o s e c ²   u . d u = 1 5 - c o t g   u = 1 5 - c o t g   5 x

Resposta

∫ sec ⁡ 5 x + c o s e c   5 x 2 . d x = 1 5 . t g   5 x + 2 5 . ln ⁡ | t g   ( 5 x ) | - 1 5 c o t g   5 x + C

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