Nos Exercícios de 1 a 30, calcule a integral indefinida. 18 ) ∫ sec 5 x + c o s e c 5 x 2 . d x Passo 1Para começarmos a resolver a integral devemos primeiro abri-la: ∫ sec ² 5 x + 2 . sec 5 x . c o s e c 5 x + c o s e c ² 5 x . d x ² ² ∫ sec ² 5 x . d x + 2 ∫ sec 5 x . c o s e c 5 x . d x + ∫ c o s e c ² 5 x . d x ² ² Agora vamos resolver cada uma delas separadamente. Primeiro: ∫ sec ² 5 x . d x ² Chamamos u = 5 x d u = 5 . d x d u 5 = d x ∫ sec ² 5 x . d x = ∫ sec 2 u . d u 5 = 1 5 ∫ sec 2 u . d u = 1 5 . t g u = 1 5 . t g 5 x ² Passo 2A próxima integral será: 2 ∫ sec 5 x . c o s e c 5 x . d x Substituindo: sec 5 x = 1 cos 5 x cosec 5 x = 1 sen 5 x 2 ∫ sec 5 x . c o s e c 5 x . d x = 2 ∫ 1 cos 5 x . 1 sen 5 x . d x = 2 ∫ 1 cos 5 x . sen 5 x . d x As propriedades trigonométricas nos dizem que: cos m x . sen n x = 1 2 . s e n m - n x + 1 2 . s e n m + n x cos 5 x . sen 5 x = 1 2 . s e n 0 + 1 2 . s e n 10 x cos 5 x . sen 5 x = 1 2 . s e n 10 x Substituindo na integral: 2 ∫ 1 cos 5 x . sen 5 x . d x = 4 ∫ 1 s e n 10 x . d x = 4 ∫ c o s e c 10 x . d x Chamamos u = 10 x d u = 10 . d x d u 10 = d x Na integral: 4 ∫ c o s e c 10 x . d x = 4 10 ∫ c o s e c u . d u = 4 10 . ln | c o s e c u - c o t g u | 2 ∫ sec 5 x . c o s e c 5 x . d x = 4 10 . ln | c o s e c 10 x - c o t g 10 x | 4 10 . ln | c o s e c 10 x - c o t g 10 x | = 4 10 . ln | 1 s e n 10 x - cos 10 x s e n 10 x | = 4 10 . ln | 1 - cos 10 x s e n 10 x | Usando as identidades: 1 - cos 10 x = 2 . s e n 2 ( 5 x ) s e n 10 x = 2 . s e n 5 x . cos ( 5 x ) 4 10 . ln | 1 - cos 10 x s e n 10 x | = 4 10 . ln | 2 . s e n 2 ( 5 x ) 2 . s e n 5 x . cos ( 5 x ) | = 4 10 . ln | s e n ( 5 x ) cos ( 5 x ) | = 4 10 . ln | t g ( 5 x ) | = 2 5 . ln | t g ( 5 x ) | Passo 3Para a última integral: ∫ c o s e c ² 5 x . d x ² Chamamos u = 5 x d u = 5 . d x d u 5 = d x ∫ c o s e c ² 5 x . d x = 1 5 ∫ c o s e c ² u . d u = 1 5 - c o t g u = 1 5 - c o t g 5 x ² ² Resposta ∫ sec 5 x + c o s e c 5 x 2 . d x = 1 5 . t g 5 x + 2 5 . ln | t g ( 5 x ) | - 1 5 c o t g 5 x + C MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosNos exercícios 1 a 30, calcule a integral indefinida:10. ∫ c o s s e c 4 x d xNos exercícios 1 a 30, calcule a integral indefinida:1. ∫ t g 2 5 x d xNos exercícios 1 a 30, calcule a integral indefinida:6. ∫ t g 4 x d xNos exercícios 1 a 30, calcule a integral indefinida:8. ∫ c o t g 5 2 x d xNos exercícios 1 a 30, calcule a integral indefinida:7. ∫ t g 6 3 x d xVer TambémVer Livro Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis LeitholdVer tudo sobre IntegraisLista de exercícios de Integrais TrigonométricasVer exercício 7.6 - 34Ver exercício 9.3 - 32