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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.3 - Ex. 29

Nos Exercícios de 1 a 30, calcule a integral indefinida.

29 )   ∫ t g 3 ( ln ⁡ x ) . s e c 6 ( ln ⁡ x ) x . d x    

Passo 1

Para começarmos a resolver a integral primeiro realizar a substituição de:

u = ln ⁡ x

d u = d x x

Então:

∫ t g 3 ( ln ⁡ x ) . s e c 6 ( ln ⁡ x ) x . d x   = ∫ t g 3 ( u ) . s e c 6 ( u ) . d u    

Lembrando que:

s e c ²   ( u ) = t g ² ( u ) + 1

∫ t g 3 ( u ) . s e c 6 ( u ) . d u = ∫ t g 3 u . t g 2 u + 1 ² . s e c 2 u d u = ∫ t g 3 u . t g 4 u + 2 . t g 2 u + 1 . s e c 2 u d u =   ∫ t g 7 u s e c 2 u d u + 2 ∫ t g 5 u . s e c 2 u d u + ∫ t g 3 u . s e c 2 u d u  

Para resolver fazemos uma segunda substituição:

z = t g   u

d z = s e c ²   u . d u

=   ∫ z 7 d z + 2 ∫ z 5 . d z + ∫ z 3 . d z = z 8 8 + 2 . z 6 6 + z 4 4 = t g 8 u 8 + t g 6 u 3 + t g 4 u 4 = t g 8 ( ln ⁡ x ) 8 + t g 6 ( ln ⁡ x ) 3 + t g 4 ( ln ⁡ x ) 4

Resposta

∫ t g 3 ( ln ⁡ x ) . s e c 6 ( ln ⁡ x ) x . d x = t g 8 ( ln ⁡ x ) 8 + t g 6 ( ln ⁡ x ) 3 + t g 4 ( ln ⁡ x ) 4 + C

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