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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.1 - Ex. 22

Retângulo ƒ(x, y) = y cos xy sobre o retângulo 0 ≤ x ≤ p,

0 ≤ y ≤ 1

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício vamos calcular a integral da função:

f ( x , y ) = y c o s ⁡ ( x y )

Sobre a região retangular R definida por:

0 ≤ x ≤ π   0 ≤ y ≤ 1

Passo 2

Sendo assim, considere a integral:

∫ 0 1   ∫ 0 π   y c o s ⁡ ( x y ) d x d y

Passo 3

Integrando em x descobrimos:

∫ 0 1   [ s e n ⁡ ( x y ) ] 0 π d y

E substituindo os limites de integração em x temos:

∫ 0 1   s e n ⁡ ( π y ) d y

Passo 4

E agora integrando e m x :

- 1 π c o s ⁡ ( π x ) 0 1

Substituindo os limites de integração e m x :

  - 1 π ( - 1 - 1 ) 2 π

Resposta

Portanto, o resultado da integral é: 2 π .

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