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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.1 - Ex. 16

Nos Exercícios 13-20, calcule a integral dupla sobre a região R dada

∬ R   y s e n ⁡ ( x + y ) d A , R : - π ≤ x ≤ 0,0 ≤ y ≤ π

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

O exercício propõe que você calcule a integral dupla sobre a região R .

∬ R   y s e n ( x + y ) d A  onde  R : - π ≤ x ≤ 0 ; 0 ≤ y ≤ π

Tudo pronto para começar? Vamos lá?

Passo 2

Primeiro passo é escolher a ordem de integração primeiro em y e depois em relação a x :

I = ∬ R   y s e n ⁡ ( x + y ) d A = ∫ - π 0   ∫ 0 π   y s e n ⁡ ( x + y ) d y d x

Passo 3

A integral interna é resolvida por integração por partes, ou seja:

I =   ∬ R     y s e n ⁡ ( x + y ) d A = ∫ - π 0     [ - y c o s ⁡ ( x + y ) + s e n ⁡ ( x + y ) ] 0 π d x   ∫ - π 0     [ - π c o s ⁡ ( x + π ) + s e n ⁡ ( x + π ) - s e n ⁡ ( x ) ] d x I   = ( - π s e n ⁡ ( x + π ) - c o s ⁡ ( x + π ) + c o s ⁡ x ) - π 0 I   = ( 0 + 1 + 1 ) - ( 0 - 1 - 1 ) = 4

Resposta

Assim, a integral dupla na região R é igual a 4.

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