Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 5
Calcule a integral fazendo a substituição dada.
Passo 1
A integral por substituição é uma forma de resolver os cálculos do tipo
Ou seja, é uma estratégia de resolução que atua como uma relação contrária à regra da cadeia em derivadas.
Temos que na regra da cadeia (para )
Realizando a operação de integração em relação a e tomando
Para essa questão utilizaremos essa regra de integração para obter o resultado.
Passo 2
Opa, bora resolver esse problema! Temos que calcular a seguinte integral:
Pra isso a gente precisa usar a regra da substituição e o enunciado já nos dá qual substituição temos que fazer!
Agora a gente precisa encontrar quem é , pra isso derivamos em relação a :
Substituimos na nossa integral:
Passo 3
Agora ficou molezinha, só precisamos usar a regra da potência:
Essa regra nos diz que ao integrar uma função polinomial nós somamos uma unidade à potência e dividimos o resultado por esse valor. É o contrário do que ocorre na derivação de um polinômio de grau .
Assim temos:
Como não temos o limite de integração, não podemos esquecer de somar a constante.
Agora voltando a integral da substituição para , lembrando que
Prontinho!