Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 6
Calcule a integral fazendo a substituição dada:
Passo 1
Opa, a gente precisa calcular essa integral aqui:
Precisamos fazer isso usando o método de Substituição Simples, e o anunciado já dá pra a gente qual substituição usar!
Mas o que é a integração por substituição?
Lembra que a integral é a operação contraria da primitiva? Então temos que ela deve ser realmente o inverso da regra da cadeia. De acordo com a regra da cadeia para a derivada temos:
Na integração por substituição, pegamos uma expressão da forma e encontramos sua primitiva.
A integração por substituição nos ajuda a simplificar uma expressão confusa, transformando a função "interna" na variável. Então temos que encontrar o resultado dessa integral:
Para simplificar essa integral, colocamos uma nova variável tal que . Isso significa que .
Substituindo essas expressões na integral, obtemos:
A integral agora é muito mais simples de resolver, pois é uma função direta de . Após integrar em relação a , obtemos .
Finalmente, substituímos de volta por para obter a resposta na variável original .
Recapitulando, já temos o , que foi dado:
Derivando:
A isolando :
Substituindo na nossa integral:
Simplificando:
Passo 2
Assim, sabemos integrar de maneira menos complicada, essa integral é tabelada pela tabela das primitivas:
Aplicando a primitiva de :
Aqui não esqueça do sinal e da constante C!
Agora vamos voltar para a varável , temos nossa integral calculada:
