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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.6 - Ex. 28

Use a Tabela de Integrais nas Páginas de Referência 6–10 para calcular a integral.

∫ ( t + 1 ) t 2 - 2 t - 1 d t

Passo 1

Para a resolução dessa questão, vamos buscar uma integral de referência em uma Tabela. Nesse caso, a nossa integral poderá ser feita da seguinte forma:

Aplicando o método da substituição, chamamos

u = t - 1

d u = d t

Podemos reescrever a nossa integral do problema da seguinte forma de forma que apareça um produto notável. “Mas como??” Assim:

∫ ( t + 1 ) t 2 - 2 t - 1 d t

∫ ( t - 1 + 2 ) t 2 - 2 t + 1 - 2 d t

Substituindo u e d u :

∫ ( u + 2 ) u 2 - 2 d t

Podemos separar em duas integrais:

∫ u u 2 - 2 1 2 d u + 2 ∫ u 2 - 2 d u

Para essa integral, temos a seguinte integral de referência:

∫ u 2 - a 2 d u = u 2 u 2 - a 2 - a 2 2 ln ⁡ | u + u 2 - a 2 | + C

Agorá ficou fácil né? Só aplicamos na nossa integral!!

∫ u u 2 - 2 1 2 d u + 2 ∫ u 2 - 2 d u =

= 1 3 u 2 - 2 3 2 + 2 1 2 u u 2 - 2 - 2 2 ln ⁡ u + u 2 - 2 + C

= 1 3 u 2 - 2 3 2 + u u 2 - 2 - 2 ln ⁡ u + u 2 - 2 + C

Substituindo nosso valor de u e a para concluir:

= 1 3 t 2 - 2 t - 1 3 2 + ( t - 1 ) t 2 - 2 t - 1 - 2 ln ⁡ ( t - 1 ) + t 2 - 2 t - 1 + C

Finish!!

Resposta

∫ ( t + 1 ) t 2 - 2 t - 1 d t = = 1 3 t 2 - 2 t - 1 3 2 + ( t - 1 ) t 2 - 2 t - 1 - 2 ln ⁡ ( t - 1 ) + t 2 - 2 t - 1 + C

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