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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 35

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

3 5 .   ∫ 2 y 2 + 1 y 3 - 6 y 2 + 12 y - 8   d y

Passo 1

Para tornar essas questões mais fácil vamos simplificar o nosso denominador, para isso precisamos ver para qual valor de y a equação se anula.

Como aprendemos lá no fundamental, para isso precisamos ver os números que são divisores do termo constante -8. Que são y = ± 1 , y = ± 2 , y = ± 4 , y = ± 8 .

Agora, qual desses termos na nossa equação se anula? Se você substituir tudo você vai achar que ela irá se anular em y = 2

Vamos então multiplicar a nossa equação em cima e em baixo por ( y - 2 ) e chegaremos hein.

y 3 - 6 y 2 + 12 y - 8 = y - 2 ⋅ ( y 3 - 6 y 2 + 12 y - 8 ) y - 2 = y - 2 ⋅ y ³ - 6 y 2 + 12 y - 8 ) y - 2

Agora é só dividir o nosso polinômio inicial por ( y - 2 )

y 3 - 6 y 2 + 12 y - 8 =   y - 2   y 2 - 4 y + 4 =   y - 2 3

Nossa integral vai ficar:

∫ 2 y 2 + 1 y - 2 3

Bem mais fácil e nítido que vamos usar a frações parciais.

Passo 2

Vamos integrar por frações parciais usando o método de igualar coeficientes:

2 y 2 + 1 y - 2 3 = A y - 2 + B y - 2 2 + C y - 2 3 =   A y - 2 2 + B y - 2 + C y - 2 3

                                  = A y 2 - 4 A y + 4 A + B y - 2 B + C y - 2 3 =   A y 2 + - 4 A + B y + ( 4 A - 2 B + C ) y - 2 3 =

A = 2                                                                                                                                                                                                                                                                                         - 4 A + B = 0 ⇒ - 4 ⋅ 2 + B = 0 ⇒ B =   8                                                                                                                                                 4 A - 2 B + C = 1 ⇒   4 ⋅ 2 - 2 ⋅ 8 + C = 1 ⇒   - 8 + C = 1 ⇒ C = 9                                                      

Ficamos então com:

A y - 2 + B y - 2 2 + C y - 2 3 =   2 y - 2 + 8 y - 2 2 + 9 y - 2 3

Agora é só integrar...

Passo 3

Integrando:

∫ 2 d y y - 2 + ∫ 8 d y y - 2 2 + ∫ 9 d y y - 2 3 = 2 ∫ d y y - 2 + 8 ∫ d y y - 2 2 + 9 ∫ y - 2 - 3 d y

                                                                        = 2 ln ⁡ y - 2 - 8 y - 2 - 9 2 y - 2 2

Resposta

∫ 2 y 2 + 1 y 3 - 6 y 2 + 12 y - 8 = 2 ln ⁡ y - 2 - 8 y - 2 - 9 2 y - 2 2

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