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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 27

Nos Exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

27 . ∫ e t / 2 cos ⁡ 2 t d t

Passo 1

Para começar a resolver essa integral, precisamos integrar por partes, a fórmula para isso é a seguinte:

∫ f   d g = f g - ∫ g   d f

Temos para nossa integral que:

f = cos ⁡ 2 t ,             d g = e t 2 d t

d f = - 2 s e n 2 t d t                 g = 2 e t 2

Passo 2

Nossa integral fica assim:

∫ e t 2 cos ⁡ 2 t d t = cos ⁡ 2 t ⋅ 2 e t 2 - ∫ 2 e t 2 ( - 2 s e n 2 t ) d t

                                                                    = 2 e t 2 cos ⁡ 2 t + 4 ∫ e t 2 s e n 2 t d t

Passo 3

Para prosseguir precisamos integrar por partes mais uma vez.

Onde:

f = sen ⁡ 2 t ,             d g = e t 2 d t

d f = 2 cos ⁡ 2 t d t                 g = 2 e t 2

Passo 4

Continuando:

∫ e t 2 cos ⁡ 2 t d t = 2 e t 2 cos ⁡ 2 t + 4 sen ⁡ 2 t ⋅ 2 e t 2 - ∫ 2 e t 2 2 cos ⁡ 2 t d t

                                                                  = 2 e t 2 cos ⁡ 2 t + 8 e t 2 sen ⁡ 2 t - 16 ∫ e t 2 cos ⁡ 2 t d t

⇒ ∫ e t 2 cos ⁡ 2 t d t = 2 e t 2 cos ⁡ 2 t + 8 e t 2 sen ⁡ 2 t - 16 ∫ e t 2 cos ⁡ 2 t d t

⇒ ∫ e t 2 cos ⁡ 2 t d t + 16 ∫ e t 2 cos ⁡ 2 t d t = 2 e t 2 cos ⁡ 2 t + 8 e t 2 sen ⁡ 2 t

⇒ 17 ∫ e t 2 cos ⁡ 2 t d t = 2 e t 2 cos ⁡ 2 t + 8 e t 2 sen ⁡ 2 t

⇒ ∫ e t 2 cos ⁡ 2 t d t = 1 17 ( 2 e t 2 cos ⁡ 2 t + 8 e t 2 sen ⁡ 2 t )

Resposta

∫ e t 2 cos ⁡ 2 t d t = 1 17 ( 2 e t 2 cos ⁡ 2 t + 8 e t 2 sen ⁡ 2 t )

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Calcule a integral usando integração por partes tabulada. ∫ e a b s e n b x d x
Use as fórmulas de redução do Exercício 64 para calcular as integrais. ( a ) ∫ x 2 e 3 x d x ( b ) ∫ 0 1 x e - x d x
43-44 Calcule a integral fazendo uma substituição u e, depois, integrando por partes.44- ∫ cos ⁡ xd x
39-42 Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.40- Utilizando a estratégia do LIATE para calcular ∫ x 3 ln ⁡ xd x , deveríamos escolher u = x 3 e d v = ln ⁡ xd x .
39-42 Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.42- A integração por partes tabulada é útil para integrandos da forma ∫ p x f x d x , em que p ( x ) é um polinômio e f