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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 32

Calcule a integral

32. int tan^4 theta sec^4 theta d theta

Passo 1

Aqui, a estratégia vai ser usar a seguinte propriedade trigonométrica:

sec^2 u = 1 + tan^2 u

Nisso, reescrevemos nossa integral da seguinte forma:

int tan^4 theta sec^4 theta d theta = int tan^4 theta sec^2 theta sec^2 theta d theta

E agora aplicamos a propriedade:

int tan^4 theta sec^2 theta sec^2 theta d theta = int tan^4 theta (1 + tan^2 theta) sec^2 theta d theta

Fazemos a distributiva:

int tan^4 theta (1 + tan^2 theta) sec^2 theta d theta = int (tan^4 theta + tan^6 theta) sec^2 theta d theta

Passo 2

Tendo a integral escrita dessa forma, podemos aplicar uma substituição simples. Teremos:

u = tan theta e d u = sec^2 theta d theta

Agora, aplicamos na integral a substituição e vamos ter:

int (tan^4 theta + tan^6 theta) sec^2 theta d theta = int (u^4 + u^6) d u

Fazemos a distributiva e separamos em duas integrais:

int (u^4 + u^6) d u = int u^4 d u + int u^6 d u

Passo 3

Essas integrais se resolvem diretamente. Resolvendo elas na ordem que estão, temos:

int u^4 d u = (u^5)/(5) + C

Retornando à variável original:

(u^5)/(5) + C = (tan^5 theta)/(5) + C

Passo 4

int u^6 d u = (u^7)/(7) + C

Retornando à variável original:

(u^7)/(7) + C = (tan^7 theta)/(7) + C

Somamos os resultados obtidos, vamos ter:

int tan^4 theta sec^4 theta d theta = (tan^5 theta)/(5) + (tan^7 theta)/(7) + C

Resposta

int tan^4 theta sec^4 theta d theta = (tan^5 theta)/(5) + (tan^7 theta)/(7) + C

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