Calcule a integral

32. ∫ tan 4 ⁡ θ sec 4 ⁡ θ d θ

Passo 1

Aqui, a estratégia vai ser usar a seguinte propriedade trigonométrica:

sec 2 ⁡ u = 1 + tan 2 ⁡ u

Nisso, reescrevemos nossa integral da seguinte forma:

∫ tan 4 ⁡ θ sec 4 ⁡ θ d θ = ∫ tan 4 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

E agora aplicamos a propriedade:

∫ tan 4 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ tan 4 ⁡ θ 1 + tan 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Fazemos a distributiva:

∫ tan 4 ⁡ θ 1 + tan 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ tan 4 ⁡ θ + tan 6 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 2

Tendo a integral escrita dessa forma, podemos aplicar uma substituição simples. Teremos:

u = tan ⁡ θ e d u = sec 2 ⁡ θ d θ

Agora, aplicamos na integral a substituição e vamos ter:

∫ tan 4 ⁡ θ + tan 6 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ u 4 + u 6 d u

Fazemos a distributiva e separamos em duas integrais:

∫ u 4 + u 6 d u = ∫ u 4 d u + ∫ u 6 d u

Passo 3

Essas integrais se resolvem diretamente. Resolvendo elas na ordem que estão, temos:

∫ u 4 d u = u 5 5 + C

Retornando à variável original:

u 5 5 + C = tan 5 ⁡ θ 5 + C

Passo 4

∫ u 6 d u = u 7 7 + C

Retornando à variável original:

u 7 7 + C = tan 7 ⁡ θ 7 + C

Somamos os resultados obtidos, vamos ter:

∫ tan 4 ⁡ θ sec 4 ⁡ θ d θ = tan 5 ⁡ θ 5 + tan 7 ⁡ θ 7 + C

Resposta

∫ tan 4 ⁡ θ sec 4 ⁡ θ d θ = tan 5 ⁡ θ 5 + tan 7 ⁡ θ 7 + C

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