Calcule a integral

19. ∫ 0 π / 3 sin 4 ⁡ 3 x cos 3 ⁡ 3 x d x

Passo 1

Pra esse tipo de integral, que envolve produto de potências de seno e cosseno, temos duas regras gerais básicas pra resolver:

1 ª : Se algum dos expoentes for ímpar, usamos a relação sin 2 ⁡ u + cos 2 ⁡ u = 1 e depois substituição simples.

2 ª : Se ambos os expoentes forem pares, usamos as relações sin 2 ⁡ u = 1 - cos ⁡ 2 u 2 e cos 2 ⁡ u = 1 + cos ⁡ 2 u 2 , e depois substituição simples.

Nisso, temos que aplicar o resultado da integral nos valores da integral, subtraindo o de cima pelo de baixo. Esse é o Teorema Fundamental do Cálculo, usado nas integrais definidas.

Passo 2

Como um dos expoentes é ímpar, usamos a 1ªa relação. Vamos trabalhar em cima desse expoente.

Isolamos um termo cos ⁡ 3 x e teremos:

∫ 0 π / 3 sin 4 ⁡ 3 x cos 3 ⁡ 3 x d x = ∫ 0 π / 3 sin 4 ⁡ 3 x cos 2 ⁡ 3 x cos ⁡ x d x

Usando a 1ªa relação:

∫ 0 π / 3 sin 4 ⁡ 3 x cos 2 ⁡ 3 x cos ⁡ x d x = ∫ 0 π / 3 sin 4 ⁡ 3 x ( 1 - s in 2 ⁡ 3 x ) cos ⁡ x d x

Passo 3

Fazemos a distributiva:

∫ 0 π / 3 sin 4 ⁡ 3 x ( 1 - sin 2 ⁡ 3 x ) cos ⁡ x d x = ∫ 0 π / 3 ( sin 4 ⁡ 3 x - sin 6 ⁡ 3 x ) cos ⁡ x d x

Agora, uma substituição simples, onde u = sin ⁡ 3 x e d u = 3 cos ⁡ 3 x d x .

Começamos por manipular a função, fazendo o 3 aparecer na integral. Multiplicamos o conteúdo por 3 e dividimos, por fora, a integral por 3. Temos:

∫ 0 π / 3 ( sin 4 ⁡ 3 x - sin 6 ⁡ 3 x ) cos ⁡ x d x = 1 3 ∫ 0 π / 3 ( sin 4 ⁡ 3 x - sin 6 ⁡ 3 x ) ∙ 3 cos ⁡ x d x

Passo 4

Agora, aplicamos nossa substituição:

1 3 ∫ 0 π / 3 ( sin 4 ⁡ 3 x - sin 6 ⁡ 3 x ) ∙ 3 cos ⁡ x d x = 1 3 ∫ 0 π / 3 ( u 4 - u 6 ) ∙ d u

Separamos em duas integrais:

1 3 ∫ 0 π / 3 u 4 d u - ∫ 0 π / 3 u 6 d u

Resolvemos elas na ordem que vêm, retornando à variável x em seguida:

∴ ∫ 0 π / 3 u 4 d u = u 5 5 = sin 5 ⁡ 3 x 5 0 π / 3 = sin 5 ⁡ 3 π / 3 5 - sin 5 ⁡ 3 0 5 =

= sin 5 ⁡ π 5 - sin 5 ⁡ 0 5 = 0 5 - 0 5 = 0

∴ ∫ 0 π / 3 u 6 d u u 7 7 = sin 7 ⁡ 3 x 7 0 π / 3 = sin 7 ⁡ 3 π / 3 7 - sin 7 ⁡ 3 0 7 =

sin 7 ⁡ π 7 - sin 7 ⁡ 0 7 = 0 7 - 0 7 = 0

Tendo o resultado das integrais, voltamos ao colchete e resolvemos o cálculo:

1 3 ∫ 0 π / 3 u 4 d u - ∫ 0 π / 3 u 6 d u = 1 3 0 - 0 = 0

Resposta

∫ 0 π / 3 sin 4 ⁡ 3 x cos 3 ⁡ 3 x d x = 0

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