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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 19

Calcule a integral

19. int_0^(pi // 3) sin^4 3 x cos^3 3 x d x

Passo 1

Pra esse tipo de integral, que envolve produto de potências de seno e cosseno, temos duas regras gerais básicas pra resolver:

1 ª : Se algum dos expoentes for ímpar, usamos a relação sin^2 u + cos^2 u = 1 e depois substituição simples.

2 ª : Se ambos os expoentes forem pares, usamos as relações sin^2 u = (1 - cos 2 u)/(2) e cos^2 u = (1 + cos 2 u)/(2) , e depois substituição simples.

Nisso, temos que aplicar o resultado da integral nos valores da integral, subtraindo o de cima pelo de baixo. Esse é o Teorema Fundamental do Cálculo, usado nas integrais definidas.

Passo 2

Como um dos expoentes é ímpar, usamos a 1ªa relação. Vamos trabalhar em cima desse expoente.

Isolamos um termo cos 3 x e teremos:

int_0^(pi // 3) sin^4 3 x cos^3 3 x d x = int_0^(pi // 3) sin^4 3 x cos^2 3 x cos x d x

Usando a 1ªa relação:

int_0^(pi // 3) sin^4 3 x cos^2 3 x cos x d x = int_0^(pi // 3) sin^4 3 x ( 1 - s in^2 3 x ) cos x d x

Passo 3

Fazemos a distributiva:

int_0^(pi // 3) sin^4 3 x ( 1 - sin^2 3 x ) cos x d x = int_0^(pi // 3) ( sin^4 3 x - sin^6 3 x ) cos x d x

Agora, uma substituição simples, onde u = sin 3 x e d u = 3 cos 3 x d x .

Começamos por manipular a função, fazendo o 3 aparecer na integral. Multiplicamos o conteúdo por 3 e dividimos, por fora, a integral por 3. Temos:

int_0^(pi // 3) ( sin^4 3 x - sin^6 3 x ) cos x d x = (1)/(3) int_0^(pi // 3) ( sin^4 3 x - sin^6 3 x ) * 3 cos x d x

Passo 4

Agora, aplicamos nossa substituição:

(1)/(3) int_0^(pi // 3) ( sin^4 3 x - sin^6 3 x ) * 3 cos x d x = (1)/(3) int_0^(pi // 3) ( u^4 - u^6 ) * d u

Separamos em duas integrais:

(1)/(3) [int_0^(pi // 3) u^4 d u - int_0^(pi // 3) u^6 d u]

Resolvemos elas na ordem que vêm, retornando à variável x em seguida:

:. int_0^(pi // 3) u^4 d u = (u^5)/(5) = ((sin^5 3 x)/(5)|_0^(pi // 3) = (sin^5 3 (pi // 3))/(5) - (sin^5 3 (0))/(5) =

= (sin^5 pi)/(5) - (sin^5 0)/(5) = (0)/(5) - (0)/(5) = 0

:. int_0^(pi // 3) u^6 d u (u^7)/(7) = ((sin^7 3 x)/(7)|_0^(pi // 3) = (sin^7 3 (pi // 3))/(7) - (sin^7 3 (0))/(7) =

(sin^7 pi)/(7) - (sin^7 0)/(7) = (0)/(7) - (0)/(7) = 0

Tendo o resultado das integrais, voltamos ao colchete e resolvemos o cálculo:

(1)/(3) [int_0^(pi // 3) u^4 d u - int_0^(pi // 3) u^6 d u] = (1)/(3) [0 - 0] = 0

Resposta

int_0^(pi // 3) sin^4 3 x cos^3 3 x d x = 0

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