Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 19
Calcule a integral
19.
Passo 1
Pra esse tipo de integral, que envolve produto de potências de seno e cosseno, temos duas regras gerais básicas pra resolver:
Se algum dos expoentes for ímpar, usamos a relação e depois substituição simples.
Se ambos os expoentes forem pares, usamos as relações e , e depois substituição simples.
Nisso, temos que aplicar o resultado da integral nos valores da integral, subtraindo o de cima pelo de baixo. Esse é o Teorema Fundamental do Cálculo, usado nas integrais definidas.
Passo 2
Como um dos expoentes é ímpar, usamos a 1ªa relação. Vamos trabalhar em cima desse expoente.
Isolamos um termo e teremos:
Usando a 1ªa relação:
Passo 3
Fazemos a distributiva:
Agora, uma substituição simples, onde e .
Começamos por manipular a função, fazendo o aparecer na integral. Multiplicamos o conteúdo por 3 e dividimos, por fora, a integral por 3. Temos:
Passo 4
Agora, aplicamos nossa substituição:
Separamos em duas integrais:
Resolvemos elas na ordem que vêm, retornando à variável em seguida:
Tendo o resultado das integrais, voltamos ao colchete e resolvemos o cálculo: