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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 29

Nos exercícios de 15 a 36, calcule a integral indefinida. (29) ∫ d x x l n x

Passo 1

Essa integral pode parecer de início meio esquisita, ainda mais por todos os termos estarem no denominador. Vamos olhar bem direitinho pra ela pra ver o que acontece aqui:

f x = ∫ d x x l n x = ∫ 1 x ⋅ 1 l n x d x

Quando a gente separa os termos ali dentro da integral, podemos oberserva uma relação entre eles. Qual seria ela? A derivada de ln ⁡ x é igual a 1 / x ! Tenso isso em mente, vamos usar a técnica da substituição de variáveis para calcular essa integral. Seja u = l n x   → d u = d x / x . Vamos agora reescrever a integral.

f u = ∫ d u u

Agora sim temos uma integral mais simples para resolver!

Passo 2

Vamos resolver essa integral!

f u = ∫ d u u f u = l n u + C

A variável inicial do problema era o x , não era? Para escrevermos a resposta final, precisamos que ela volte a aparecer! Como fizemos u = l n x :

f x = ln ⁡ l n x + C

Resposta

O resultado é:

∫ d x x l n x = ln ⁡ l n x + C

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