Nos Exercícios de 1 a 30, calcule a integral indefinida. 23 ) ∫ t g 5 ( 3 x ) . d x Passo 1Para começarmos a resolver a integral devemos usar a identidade: t g ² x = s e c ² x - 1 ² ² Substituindo: ∫ t g 5 ( 3 x ) . d x = ∫ t g 4 ( 3 x ) . t g 3 x . d x = ∫ ( s e c 2 ( 3 x ) - 1 ) ² . t g 3 x . d x = ∫ ( sec 4 3 x - 2 . s e c 2 ( 3 x ) + 1 ) . t g 3 x . d x = ∫ ( t g 3 x . sec 4 ( 3 x ) - 2 . t g 3 x s e c 2 ( 3 x ) + t g 3 x ) . d x = ∫ t g 3 x . sec 4 ( 3 x ) . d x - 2 . ∫ t g 3 x s e c 2 ( 3 x ) . d x + ∫ t g 3 x . d x ² Chamamos: u = 3 x d u = 3 d x d u 3 = d x Sendo assim: = 1 3 ∫ t g u . sec 4 u . d u - 2 3 . ∫ t g u . s e c 2 u . d u + 1 3 ∫ t g u . d u Passo 2Agora resolvemos cada integral separadamente. Para a primeira, 1 3 ∫ t g u . sec 4 u . d u Lembrando da identidade: s e c ² u = t g ² u + 1 ² ² 1 3 ∫ t g u . sec 4 u . d u = 1 3 ∫ t g u . tg ² u + 1 . sec 2 u . d u = 1 3 ∫ tg ³ u + tg u . sec 2 u . d u = 1 3 ∫ t g 3 u . sec 2 u . d u + ∫ tg u . sec 2 u . d u ² ³ Devemos fazer uma segunda substituição: z = tg u d z = sec ² u . d u ² 1 3 ∫ t g 3 u . sec 2 u . d u + ∫ tg u . sec 2 u . d u = 1 3 ∫ z ³ d z + ∫ z . d z = 1 3 z 4 4 + z 2 2 = 1 3 z 4 + 2 z ² 4 = z 4 + 2 z ² 12 ³ ² ² Então: 1 3 ∫ t g u . sec 4 u . d u = t g 4 u + 2 t g ² u 12 = t g 4 3 x + 2 t g ² 3 x 12 ² ² Para a segunda: 2 3 . ∫ t g u . s e c 2 u . d u Devemos fazer uma segunda substituição: z = tg u d z = sec ² u . d u ² 2 3 . ∫ t g u . s e c 2 u . d u = 2 3 . ∫ z . d z = 2 3 . z 2 2 = z 2 3 Então: 2 3 . ∫ t g u . s e c 2 u . d u = t g 2 u 3 = t g 2 3 x 3 Para a terceira: 1 3 ∫ t g u . d u = 1 3 . ln | sec u | = 1 3 . ln | sec 3 x | Concluindo 1 3 ∫ t g u . sec 4 u . d u - 2 3 . ∫ t g u . s e c 2 u . d u + 1 3 ∫ t g u . d u = t g 4 3 x + 2 t g ² 3 x 12 - t g 2 3 x 3 + ln sec 3 x 3 = t g 4 3 x 12 - t g 2 3 x 6 + ln | sec 3 x | 3 ² Resposta ∫ t g 5 ( 3 x ) . d x = t g 4 3 x 12 - t g 2 3 x 6 + ln | sec 3 x | 3 + C MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosNos exercícios 1 a 30, calcule a integral indefinida:2. ∫ c o t g 2 4 t d tNos exercícios 1 a 30, calcule a integral indefinida:9. ∫ s e c 4 x d xNos exercícios 1 a 30, calcule a integral indefinida:11. ∫ c o s s e c 3 x d xNos exercícios 1 a 30, calcule a integral indefinida:5. ∫ c o t g 3 t d tNos exercícios 1 a 30, calcule a integral indefinida:4. ∫ e x t g 2 e x d xVer TambémVer Livro Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis LeitholdVer tudo sobre IntegraisLista de exercícios de Integrais TrigonométricasVer exercício 9.3 - 12Ver exercício 9.3 - 24