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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.3 - Ex. 23

Nos Exercícios de 1 a 30, calcule a integral indefinida.

23 )   ∫ t g 5 ( 3 x ) . d x    

Passo 1

Para começarmos a resolver a integral devemos usar a identidade:

t g ²   x = s e c ² x - 1

Substituindo:

∫ t g 5 ( 3 x ) . d x = ∫ t g 4 ( 3 x ) . t g   3 x . d x = ∫ ( s e c 2 ( 3 x ) - 1 ) ² . t g   3 x . d x = ∫ ( sec 4 ⁡ 3 x - 2 . s e c 2 ( 3 x ) + 1 ) . t g   3 x . d x =   ∫ ( t g   3 x . sec 4 ⁡ ( 3 x ) - 2 . t g   3 x s e c 2 ( 3 x ) + t g   3 x ) . d x = ∫ t g   3 x . sec 4 ⁡ ( 3 x ) . d x - 2 . ∫ t g   3 x s e c 2 ( 3 x ) . d x + ∫ t g   3 x . d x

Chamamos:

u = 3 x

d u = 3 d x

d u 3 = d x

Sendo assim:

= 1 3 ∫ t g   u . sec 4 ⁡ u . d u - 2 3 . ∫ t g   u . s e c 2 u . d u + 1 3 ∫ t g   u . d u

Passo 2

Agora resolvemos cada integral separadamente. Para a primeira,

1 3 ∫ t g   u . sec 4 ⁡ u . d u

Lembrando da identidade:

s e c ²   u = t g ² u + 1

1 3 ∫ t g   u . sec 4 ⁡ u . d u = 1 3 ∫ t g   u . tg ² u + 1 . sec 2 ⁡ u . d u = 1 3 ∫ tg ³ u + tg u . sec 2 ⁡ u . d u = 1 3 ∫ t g 3 u . sec 2 ⁡ u . d u + ∫ tg u . sec 2 ⁡ u . d u

Devemos fazer uma segunda substituição:

z = tg ⁡ u

d z = sec ² ⁡ u . d u

1 3 ∫ t g 3 u . sec 2 ⁡ u . d u + ∫ tg u . sec 2 ⁡ u . d u = 1 3 ∫ z ³ d z + ∫ z . d z = 1 3 z 4 4 + z 2 2 = 1 3 z 4 + 2 z ² 4 = z 4 + 2 z ² 12

Então:

1 3 ∫ t g   u . sec 4 ⁡ u . d u = t g 4 u + 2 t g ² u 12 = t g 4 3 x + 2 t g ² 3 x 12

Para a segunda:

2 3 . ∫ t g   u . s e c 2 u . d u

Devemos fazer uma segunda substituição:

z = tg ⁡ u

d z = sec ² ⁡ u . d u

2 3 . ∫ t g   u . s e c 2 u . d u = 2 3 . ∫ z . d z = 2 3 . z 2 2 = z 2 3

Então:

2 3 . ∫ t g   u . s e c 2 u . d u = t g 2 u 3 = t g 2 3 x 3

Para a terceira:

1 3 ∫ t g   u . d u = 1 3 . ln ⁡ | sec ⁡ u | = 1 3 . ln ⁡ | sec ⁡ 3 x |

Concluindo

1 3 ∫ t g   u . sec 4 ⁡ u . d u - 2 3 . ∫ t g   u . s e c 2 u . d u + 1 3 ∫ t g   u . d u = t g 4 3 x + 2 t g ² 3 x 12 - t g 2 3 x 3 + ln ⁡ sec ⁡ 3 x 3 = t g 4 3 x 12 - t g 2 3 x 6 + ln ⁡ | sec ⁡ 3 x | 3

Resposta

∫ t g 5 ( 3 x ) . d x       = t g 4 3 x 12 - t g 2 3 x 6 + ln ⁡ | sec ⁡ 3 x | 3 + C

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