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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.3 - Ex. 25

Nos Exercícios de 1 a 30, calcule a integral indefinida.

25 )   ∫ d u 1 + sec  ⁡ ( u 2 )    

Passo 1

Para começarmos a resolver a integral devemos abrir a integral:

∫ d u 1 + sec  ⁡ ( u 2 ) = ∫ d u 1 + 1 cos ⁡ u 2 = ∫ cos ⁡ u 2 cos ⁡ u 2 + 1 . d u

Chamamos:

x = u 2

d x = d u 2

2 . d x = d u

∫ cos ⁡ u 2 cos ⁡ u 2 + 1 . d u = 2 ∫ cos ⁡ x cos ⁡ x + 1 . d x

Lembrando das identidades:

2 . c o s ²   x 2 = 1 + cos ⁡ ( x )

2 . s e n ²   x 2 = 1 - cos ⁡ x →   cos ⁡ x = 1 - 2 . s e n ²   x 2

Substituindo:

2 ∫ cos ⁡ x cos ⁡ x + 1 . d x = 2 ∫ 1 - 2 . s e n ²   x 2 2 . c o s ²   x 2 . d x = 2 1 2 ∫ 1 c o s ²   x 2 . d x - ∫ s e n 2 x 2 c o s ²   x 2 . d x = ∫ s e c ²   ( x 2 ) . d x - 2 ∫ t g ²   ( x 2 ) . d x

Realizando outra substituição:

z = x 2

d z = d x 2

2 . d z = d x

∫ s e c ²   ( x 2 ) . d x - 2 ∫ t g 2 x 2 . d x = 2 ∫ s e c ²   ( z ) . d z - 4 ∫ t g ²   ( z ) . d z

Lembrando que:

t g ²   z = s e c ²   z - 1

Sendo assim:

2 ∫ s e c ²   ( z ) . d z - 4 ∫ t g 2 z . d z = 2 ∫ s e c ²   ( z ) . d z - 4 ∫ ( s e c ²   z - 1 ) . d z = 2 ∫ s e c ²   ( z ) . d z - 4 ∫ s e c ²   z . d z + 4 ∫ d z = - 2 ∫ s e c ²   z . d z + 4 ∫ d z = - 2 . t g   ( z ) + 4 z

Então:

- 2 . t g   z + 4 z = - 2 . t g   x 2 + 4 x 2 = - 2 . t g   u 4 + 4 u u = u - 2 . t g   u 4

Resposta

∫ d u 1 + sec  ⁡ ( u 2 )   = u - 2 . t g   u 4 + C

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