Nos Exercícios de 1 a 30, calcule a integral indefinida. 25 ) ∫ d u 1 + sec ( u 2 ) Passo 1Para começarmos a resolver a integral devemos abrir a integral: ∫ d u 1 + sec ( u 2 ) = ∫ d u 1 + 1 cos u 2 = ∫ cos u 2 cos u 2 + 1 . d u Chamamos: x = u 2 d x = d u 2 2 . d x = d u ∫ cos u 2 cos u 2 + 1 . d u = 2 ∫ cos x cos x + 1 . d x Lembrando das identidades: 2 . c o s ² x 2 = 1 + cos ( x ) ² 2 . s e n ² x 2 = 1 - cos x → cos x = 1 - 2 . s e n ² x 2 ² ² Substituindo: 2 ∫ cos x cos x + 1 . d x = 2 ∫ 1 - 2 . s e n ² x 2 2 . c o s ² x 2 . d x = 2 1 2 ∫ 1 c o s ² x 2 . d x - ∫ s e n 2 x 2 c o s ² x 2 . d x = ∫ s e c ² ( x 2 ) . d x - 2 ∫ t g ² ( x 2 ) . d x ² ² ² ² ² ² Realizando outra substituição: z = x 2 d z = d x 2 2 . d z = d x ∫ s e c ² ( x 2 ) . d x - 2 ∫ t g 2 x 2 . d x = 2 ∫ s e c ² ( z ) . d z - 4 ∫ t g ² ( z ) . d z ² ² ² Lembrando que: t g ² z = s e c ² z - 1 ² ² Sendo assim: 2 ∫ s e c ² ( z ) . d z - 4 ∫ t g 2 z . d z = 2 ∫ s e c ² ( z ) . d z - 4 ∫ ( s e c ² z - 1 ) . d z = 2 ∫ s e c ² ( z ) . d z - 4 ∫ s e c ² z . d z + 4 ∫ d z = - 2 ∫ s e c ² z . d z + 4 ∫ d z = - 2 . t g ( z ) + 4 z ² ² ² ² ² ² Então: - 2 . t g z + 4 z = - 2 . t g x 2 + 4 x 2 = - 2 . t g u 4 + 4 u u = u - 2 . t g u 4 Resposta ∫ d u 1 + sec ( u 2 ) = u - 2 . t g u 4 + C MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosNos exercícios de 15 a 36, calcule a integral indefinida. (21) ∫ c o s ( t )d t 1 + 2 s e n ( t )Nos exercícios de 15 a 36, calcule a integral indefinida. (22) ∫ s e n ( 3 t )d t cos 3 t - 1Prove o teorema 7.4.6 multiplicando o numerador e o denominador do integrando por cossecu(u) - cotg(u)Nos exercícios de 15 a 36, calcule a integral indefinida. (35) ∫ t g ( l n x ) x d xProve que ∫ c o s e c u d u = - ln c o s e c u + c o t g + C de duas maneiras: (b) usando o teorema 7.4.6Ver TambémVer Livro Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis LeitholdVer tudo sobre IntegraisLista de exercícios de Integrais TrigonométricasVer exercício 9.3 - 37Ver exercício 6.1 - 7