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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 50

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

50 .   ∫ cos ⁡ x ⋅ ln ⁡ s e n   x   d x

Passo 1

Vamos começar simplificando nossa integral através da substituição simples, onde:

u = s e n   x ⇒ d u = cos ⁡ d x

Nossa integral ficará então na forma:

∫ ln ⁡ u   d u

Agora, com essa integral extremamente mais amigável vamos começar a integrar.

Passo 2

Nesta questão podemos ver claramente que é um caso de integração por partes, então vamos lembrar dela:

Integração por partes:

∫ f   d g = f ⋅ g - ∫ d f   v

Ou seja:

f = ln ⁡ u e d g = 1

Passo 3

Integrando:

∫ ln ⁡ u   d u = ln ⁡ u ⋅ u -   ∫ 1 u ⋅ u   d u

= u ln ⁡ u - ∫ d u

= u ln ⁡ u - u + c

Voltando para nossa variável inicial:

u ln ⁡ u - u + c = s e n   x ln ⁡ ( s e n x ) - s e n x + c

Resposta

∫ cos ⁡ x ⋅ ln ⁡ s e n   x   d x = s e n x [ ln ⁡ s e n x - 1 ] + c

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Esboce o gráfico de F (x) = int_(- oo)^x f (t) d t ondef (t) = {[[0,s,e,,t,=,0],[e^(- t),s,e,,t,,0]])
Esboce o gráfico de F (x) = int_(- oo)^x f (t) d t ondef (t) = (1)/(1 + t^2)
Esboce o gráfico de F (x) = int_(- oo)^x f (t) d t ondef (t) = {[[0,s,e,,|t|,,1],[1,-,t^2,s,e,,|t|,=,1]])
Esboce o gráfico de F (x) = int_(- oo)^x f (t) d t ondef (t) = {[[t,s,e,,0,=,t,=,1],[(1)/(t),s,e,,t,,1],[0,s,e,,t,,0]])
1-10. Esboce o gráfico de F (x) = int_(- oo)^x f ( t ) d t onde3. f (t) = {[[(1)/(t) , s e t = 1],[0 , s e t1]])