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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 59

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

5 9 . ∫ t g   x   d x

Passo 1

Vamos começar fazendo uma substituição onde:

u = t g   x ⇒ d u = sec 2 ⁡ x   d x  

Sabemos que:

sec 2 ⁡ x = 1 + t g 2 x

Nossa integral fica:

∫ u ⋅ d u 1 + u 2

Passo 2

Vamos fazer outra substituição de forma que:

t =   u ⇒ d t = 1 2 u   d u

Ou seja:

∫ t 1 + t 4 ⋅ 2 t   d t = ∫ 2 t 2 1 + t 4 d t

= ∫ t 2 + t 2 + 1 - 1 1 + t 4 d t  

= ∫ t 2 - 1 1 + t 4 d t +   ∫ t 2 + 1 1 + t 4 d t

Vamos multiplicar em cima e em baixo por t - 2 e ficamos com:

∫ t - 2 ( t 2 - 1 ) t - 2 ( 1 + t 4 ) d t +   ∫ t - 2 ( t 2 + 1 ) t - 2 ( 1 + t 4 ) d t =   ∫ 1 - t - 2 t - 2 + t 2 d t +   ∫ 1 + t - 2 t - 2 + t 2 d t  

Passo 3

Agora vamos com calma e pensar um pouco sobre o numerador e o denominador das funções em nossas integrais:

1º - O numerador:

Sempre que vamos fazer uma substituição nós igualamos algo difícil da nossa questão a uma variável qualquer em função da variável que temos para facilitar tudo, mas nessa situação não é vantajoso fazer isso.

E se a gente tentasse ao invés de igualar a essa variável a gente igualar a derivada dela? Não entendeu, vamos ver...

Vamos igualar o numerador da primeira integral a derivada de um v (t) qualquer:

d v = 1 - t - 2 d t   se esse é o d v então o nosso v ( t ) seria   v ( t ) = t + t - 1

Agora vamos igualar numerador da segunda integral a derivada de um v (t) qualquer:

d v = 1 + t - 2   se esse é o d v então o nosso   v ( t ) seria   v ( t ) = t - t - 1

E como vão ficar as nossas integrais agora?

Bom, nossas integrais são:

  ∫ 1 - t - 2 t - 2 + t 2 d t +   ∫ 1 + t - 2 t - 2 + t 2 d t  

Então podemos reescrever nossa integral de forma que fique:

∫ d v t - 2 + t 2 +   ∫ d v t - 2 + t 2  

Como conhecemos o v ( t ) das duas integrais, podemos escrever:

∫ d ( t + t - 1 ) t - 2 + t 2 +   ∫ d ( t - t - 1 ) t - 2 + t 2  

Passo 4

Se a gente olhar com calma para as duas integrais que conseguimos no final do Passo 3, podemos reparar que elas se assemelham muito com duas integrais de resultado tabelado que temos:

∫ d u u 2 + a 2 = 1 a a c t g   u a + c

∫ d u u 2 - a 2 = 1 2 a l n u - a u + a + c

E para elas ficarem realmente parecidas, falta apenas modificar um pouquinho o denominador.

2º - O denominador:

Vamos completar quadrado nos denominadores das duas integrais, de modo que nosso objetivo é encontrar algo que seja relativamente parecido com as situações acima.

Vamos mexer primeiro no denominador da primeira integral, queremos apenas completar quadrado, logo ficamos com:

t - 2 + t 2 = t - 2 + t 2 + 2 - 2 = t + t - 1 2 - 2

Agora vamos mexer no denominador da segunda integral, queremos apenas completar quadrado, logo ficamos com:

t - 2 + t 2 = t - 2 + t 2 + 2 - 2 = t + t - 1 2 + 2

Nossas integrais ficam da seguinte maneira:

∫ d ( t + t - 1 ) t - 2 + t 2 +   ∫ d ( t - t - 1 ) t - 2 + t 2   = ∫ d ( t + t - 1 ) t + t - 1 2 - 2 +   ∫ d ( t - t - 1 ) t - t - 1 2 + 2  

Se você reparar ficamos com integrais parecidas com as que queríamos mais acima.

Passo 5

Vamos resolver separadamente cada integral depois as somamos.

1º

∫ d ( t + t - 1 ) t + t - 1 2 - 2 = 1 2 2 l n t + t - 1 - 2 t + t - 1 + 2

2º

∫ d ( t - t - 1 ) t - t - 1 2 + 2   = 1 2 a c t g   ( t - t - 1 ) 2

Vamos multiplicar por t em cima e em baixo dentro dos argumentos:

1º

1 2 2 l n t t + t - 1 - 2 t t + t - 1 + 2 =   1 2 2 l n t 2 + 1 - 2 t t 2 + 1 + 2 t

2º

1 2 a c t g   t ( t - t - 1 ) t 2 = 1 2 a c t g   t 2 - 1 t 2

Passo 6

Vamos agora voltar para nossa variável inicial:

t =   u

1º

1 2 2 l n u + 1 - 2 u u + 1 + 2 u

2º

1 2 a c t g   u - 1 u 2

u = t g   x

1º

1 2 2 l n t g   x + 1 - 2 t g   x t g   x + 1 + 2 t g   x

2º

1 2 a c t g   t g   x - 1 2 t g   x

Ou seja:

∫ t g   x   d x = 1 2 2 l n t g   x + 1 - 2 t g   x t g   x + 1 + 2 t g   x + 1 2 a c t g   t g   x - 1 2 t g   x

Resposta

∫ t g   x   d x = 1 2 2 l n t g   x + 1 - 2 t g   x t g   x + 1 + 2 t g   x + 1 2 a c t g   t g   x - 1 2 t g   x

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