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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 58

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

58 . ∫ 1 2 + 2 s e n   x + cos ⁡ x d x

Passo 1

Para resolver essa integral precisamos fazer a seguinte substituição:

u = t g x 2

d u = 1 2 sec 2 ⁡ x 2 d x ⇒ 2 d u sec 2 ⁡ x 2 = d x

Você deve ter se perguntado onde usaremos isso, já vou mostrar, as antes vamos lembrar de umas identidades trigonométricas para ser usadas na integral.

s e n   x = 2 t g x 2 1 + t g 2 x 2

cos ⁡ x = 1 - t g 2 x 2 1 + t g 2 x 2

Passo 2

Vamos aplicar o que definimos no passo um na nossa integral.

∫ 1 2 + 2 s e n   x + cos ⁡ x d x = ∫ 1 2 + 2 2 t g x 2 1 + t g 2 x 2 + 1 - t g 2 x 2 1 + t g 2 x 2 d x

Agora aplicando a substituição do passo 1:

∫ 1 2 + 2 2 t g x 2 1 + t g 2 x 2 + 1 - t g 2 x 2 1 + t g 2 x 2 d x = ∫ 1 2 + 2 2 u 1 + u 2 + 1 - u 2 1 + u 2 2 t g 2 x 2 + 1 d u

= ∫ 1 2 + 2 2 u 1 + u 2 + 1 - u 2 1 + u 2 2 u 2 + 1 d u

= ∫ 2 2 u 2 + 2 + 4 u + 1 - u 2 d u = 2 ∫ 1 u 2 + 4 u + 3 d u

Passo 3

Para prosseguimos precisamos usar a técnica de frações parciais.

Temos que:

u 2 + 4 u + 3

Como esse polinômio temo raízes 1 e 3 ele pode ser fatorado da seguinte maneira:

u 2 + 4 u + 3 = ( u + 3 ) ( u + 1 )

Nossa integral fica da seguinte forma:

2 ∫ 1 ( u + 3 ) ( u + 1 ) d u

Passo 4

Agora aplicando as frações parciais:

1 ( u + 3 ) ( u + 1 ) = A u + 3 + B u + 1

A u + 3 + B u + 1 = A u + 1 + B u + 3 u + 3 u + 1

= A u + A + B u + 3 B u + 3 u + 1 = A + B u + ( A + 3 B ) u + 3 u + 1

A + B = 0 ⇒ A = - B

A + 3 B = 1 ⇒ - B + 3 B = 1 ⇒ B = 1 2

Logo:

A = - 1 2

Assim ficamos com:

A u + 3 + B u + 1 = - 1 2 ( u + 3 ) + 1 2 ( u + 1 )

Passo 5

Aplicando o resultado do passo 4 na integral:

2 ∫ 1 ( u + 3 ) ( u + 1 ) d u = 2 ∫ - 1 2 ( u + 3 ) + 1 2 ( u + 1 ) d u

= ∫ - 1 ( u + 3 ) + 1 ( u + 1 ) d u

= - ln ⁡ ( u + 3 ) + ln ⁡ ( u + 1 )

Passo 6

Agora para obter o resultado final temos que retroceder a substituição feita.

u = t g x 2

- ln ⁡ ( u + 3 ) + ln ⁡ ( u + 1 ) = - ln ⁡ t g x 2 + 3 + ln ⁡ t g x 2 + 1

Resposta

∫ 1 2 + 2 s e n   x + cos ⁡ x d x = - ln ⁡ t g x 2 + 3 + ln ⁡ t g x 2 + 1 + c

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