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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 68

Nos exercícios de 63 a 94, calcule a integral definida.

6 8 . ∫ 0 π 2 s e n 3 t cos 3 ⁡ t d t  

Passo 1

Vamos modificar um pouquinho nossa integral lembrando que como o expoente é ímpar a identidade trigonométrica que usamos é:

s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 1

∫ 0 π 2 s e n 2 t   s e n   t cos 3 ⁡ t d t = ∫ 0 π 2 ( 1 - cos 2 ⁡ t )   s e n   t cos 3 ⁡ t d t

Passo 2

Vamos usar a substituição simples de modo que:

u = c o s   t ⇒ d u = - s e n   t   d t

Como u = cos ⁡ t , vamos mudar os nossos limites de integração para se adequarem a nova variável, assim não precisaremos voltar para variável inicial:

u = cos ⁡ t quando t = 0 , u = 1

u = cos ⁡ t quando t = π 2 , u = 0

Então, nossa integral ficará:

∫ 1 0 1 - u 2 u 3 - d u

Precisamos alterar as posições dos nossos limites de integração, e lembre-se, para fazer isso é só colocar o sinal negativo na frente:

- ∫ 0 1 1 - u 2 ( - u 3 ) d u = - ∫ 0 1 - u 3 d u   - ∫ 0 1 u 5 d u    

=   ∫ 0 1 u 3 d u   - ∫ 0 1 u 5 d u  

u 4 4 - u 6 6 0 1 = 1 4 - 0 - 1 6 - 0

=   1 4 - 1 6 = 6 - 4 24 = 2 24 = 1 12  

Resposta

∫ 0 π 2 s e n 3 t cos 3 ⁡ t d t =   1 12

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