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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 46

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

4 6 .   ∫ c o t g   x   d x 3 + 2 cos ⁡ x

Passo 1

Vamos começar facilitando a nossa função, para isso vamos multiplicar em cima e em baixo por tan 2 ⁡ x sec ⁡ x :

c o t g   x 3 + 2 cos ⁡ x =   c o t g   x   ( tan 2 ⁡ x sec ⁡ x ) ( 3 + 2 cos ⁡ x ) ( tan 2 ⁡ x sec ⁡ x )  

                                          =   cos ⁡ x s e n   x ⋅ s e n 2   x cos 2 ⁡ x ⋅ sec ⁡ x 3 tan 2 ⁡ x sec ⁡ x + 2 c o s ⋅ 1 cos ⁡ x ⋅ tan 2 ⁡ x

                                        =   tan ⁡ x sec ⁡ x 3 tan 2 ⁡ x sec ⁡ x + 2 tan 2 ⁡ x

                                      =   tan ⁡ x sec ⁡ x tan 2 ⁡ x   ( 3 sec ⁡ x + 2 )

Sabemos que:

tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1

Então:

tan ⁡ x sec ⁡ x tan 2 ⁡ x   ( 3 sec ⁡ x + 2 ) =   tan ⁡ x sec ⁡ x ( sec 2 ⁡ x - 1 ) ⁡   ( 3 sec ⁡ x + 2 )

O novo formato da nossa integral é:

∫ tan ⁡ x sec ⁡ x ( sec 2 ⁡ x - 1 ) ⁡   ( 3 sec ⁡ x + 2 )   d x

Passo 2

Integrando:

Primeiramente vamos usar uma substituição simples para tornar a nossa integral melhor de ser vista:

u = sec ⁡ x ⇒ d u = sec ⁡ x tan ⁡ x   d x

∫ tan ⁡ x sec ⁡ x ( sec 2 ⁡ x - 1 ) ⁡   ( 3 sec ⁡ x + 2 )   d x = ∫ d u ( u 2 - 1 ) ( 3 u + 2 ) = ∫ d u ( u - 1 ) ( u + 1 ) ( 3 u + 2 )  

Passo 3

Agora vamos integrar por funções parciais usando o método dos coeficientes a determinar:

1 ( u - 1 ) ( u + 1 ) ( 3 u + 2 ) = A u - 1 + B ( u + 1 ) + C 3 u + 2

                                                                                              = A u + 1 3 u + 2 + B u - 1 3 u + 2 + C ( u - 1 ) ( u + 1 ) ( u - 1 ) ( u + 1 ) ( 3 u + 2 )

                                                                                              = A 3 u 2 + 5 u + 2 + B 3 u 2 - u - 2 + C ( u 2 - 1 ) ( u - 1 ) ( u + 1 ) ( 3 u + 2 )

                                                                                            = 3 A + 3 B + C u 2 + 5 A - B u + ( 2 A - 2 B - C ) ( u - 1 ) ( u + 1 ) ( 3 u + 2 )

3 A + 3 B + C = 0 ⇒ 3 A + 3 5 A + C = 0 ⇒ 18 A + C = 0 ⇒ C = - 18 A =   - 18 10 = - 9 5 5 A - B = 0 ⇒ B = 5 A ⇒ B = 5 ⋅ 1 10 = 1 2                                                                                                                                                                       2 A - 2 B - C = 1 ⇒ 2 A - 2 5 A - - 18 A = 1 ⇒ 2 A - 10 A + 18 A = 1 ⇒ A = 1 10

A u - 1 + B ( u + 1 ) + C 3 u + 2 =   1 10 u - 1 + 1 2 ( u + 1 ) - 9 5 3 u + 2

Passo 4

Integrando:

∫ d u ( u - 1 ) ( u + 1 ) ( 3 u + 2 ) = ∫ 1 10 u - 1 d u + ∫ 1 2 u + 1 d u - ∫ 9 5 3 u + 2 d u

                                                                                                      = 1 10 ∫ 1 u - 1 d u + 1 2 ∫ 1 u + 1 d u - 9 5 ∫ 1 3 u + 2 d u

                                                                                                      = 1 10 ln ⁡ ( u - 1 ) + 1 2 ln ⁡ u + 1 - 9 5 ∫ 1 3 u + 2 d u

Passo 5

Vamos precisar resolver a integral ∫ 1 3 u + 2 d u sozinha.

s = 3 u + 2 ⇒ d s = 3 d u

Ou seja:

∫ 1 s ⋅ d s 3   = 1 3 ∫ 1 s d s = 1 3 ln ⁡ s + c

Voltando para variável anterior.

∫ 1 3 u + 2 d u =   1 3 ln ⁡ ( 3 u + 2 ) + c  

Passo 6

Agora vamos juntar a que fizemos no Passo 5 as do Passo4.

∫ d u ( u - 1 ) ( u + 1 ) ( 3 u + 2 ) = 1 10 ln ⁡ ( u - 1 ) + 1 2 ln ⁡ u + 1 - 9 5 ⋅   1 3 ln ⁡ ( 3 u + 2 ) + C

Mas lembrando que u não é nossa variável inicial, então vamos voltar para ela.

Passo 7

u = sec ⁡ x

∫ tan ⁡ x sec ⁡ x ( sec 2 ⁡ x - 1 ) ⁡   ( 3 sec ⁡ x + 2 )   d x =   ln ⁡ ( sec ⁡ x - 1 ) 10 + ln ⁡ ( sec ⁡ x + 1 ) 2 - 3 ln ⁡ 3 sec ⁡ x + 2 5 + C

Resposta

∫ c o t g   x   d x 3 + 2 cos ⁡ x = ln ⁡ ( sec ⁡ x - 1 ) 10 + ln ⁡ ( sec ⁡ x + 1 ) 2 - 3 ln ⁡ 3 sec ⁡ x + 2 5 + C

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