Calcule a integral indefinida.

∫ x - 1 x 3 + x 2 - 4 x - 4 d x

Passo 1

Para calcular essa integral, primeiro vamos manipular um pouco:

∫ x - 1 x 3 + x 2 - 4 x - 4 d x = ∫ x - 1 x - 2 x + 1 x + 2 d x

Vamos usar Frações Parciais, analisando o denominador vemos que ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

x - 1 x - 2 x + 1 x + 2 = A x - 2 + B x + 1 + C x + 2  

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x - 2 x + 1 x + 2 :

x - 1 = A x + 1 x + 2 + B x - 2 x + 2 + C x - 2 x + 1

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

x - 1 = A x + 1 x + 2 + B x - 2 x + 2 + C x - 2 x + 1

x - 1 = A x 2 + 2 x + x + 2 + B x 2 + 2 x - 2 x - 4 + C x 2 + x - 2 x - 2

x - 1 = A x 2 + 3 x + 2 + B x 2 - 4 + C x 2 - x - 2

x - 1 = A x 2 + 3 A x + 2 A + B x 2 - 4 B + C x 2 - C x - 2 C

x - 1 = x 2 A + B + C + x 3 A - C + 2 A - 4 B - 2 C

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes x 2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B + C = 0 3 A - C = 1 2 A - 4 B - 2 C = - 1

Vamos somar o primeiro com o segundo:

4 A + B = 1 → B = 1 - 4 A

Isolando C na segunda:

C = 3 A - 1

Substituindo na terceira:

2 A - 4 B - 2 C = - 1 → 2 A - 4 1 - 4 A - 2 3 A - 1 = - 1 →

2 A - 4 + 16 A - 6 A + 2 = - 1 → 12 A = 1 → A = 1 12

Agora achamos B e C :

B = 1 - 4 A = 1 - 4 ⋅ 1 12 = 12 - 4 12 = 8 12 = 2 3

C = 3 A - 1 = 3 ⋅ 1 12 - 1 = 3 - 12 12 = - 9 12 = - 3 4

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ x - 1 x - 2 x + 1 x + 2 d x = ∫ 1 12 x - 2 + 2 3 x + 1 + - 3 4 x + 2 d x =

= ∫ 1 12 x - 2 + 2 3 x + 1 - 3 4 x + 2 d x =

= 1 12 ∫ 1 x - 2 d x + 2 3 ∫ 1 x + 1 d x - 3 4 ∫ 1 x + 2 d x

Agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Passo 3

Com a primeira, vamos usar a Regra da Substituição:

u = x - 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

1 12 ∫ 1 x - 2 d x = 1 12 ∫ 1 u d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

1 12 ∫ 1 u d u = 1 12 ln ⁡ u + C

Passo 4

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na segunda:

v = x + 1

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

2 3 ∫ 1 x + 1 d x = 2 3 ∫ 1 v d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

2 3 ∫ 1 v d v = 2 3 ln ⁡ v + C

Passo 5

Vamos usar a Regra da Substituição por último na terceira:

r = x + 2

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

- 3 4 ∫ 1 x + 2 d x = - 3 4 ∫ 1 r d r

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

- 3 4 ∫ 1 r d r = - 3 4 ln ⁡ r + C

Passo 6

Agora é só juntar tudo:

1 12 ∫ 1 x - 2 d x + 2 3 ∫ 1 x + 1 d x - 3 4 ∫ 1 x + 2 d x = 1 12 ln ⁡ u + 2 3 ln ⁡ v - 3 4 ln ⁡ r + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x - 1 x 3 + x 2 - 4 x - 4 d x = 1 12 ln ⁡ u + 2 3 ln ⁡ v - 3 4 ln ⁡ r + C

= 1 12 ln ⁡ x - 2 + 2 3 ln ⁡ x + 1 - 3 4 ln ⁡ x + 2 + C

Resposta

∫ x - 1 x 3 + x 2 - 4 x - 4 d x = 1 12 ln ⁡ x - 2 + 2 3 ln ⁡ x + 1 - 3 4 ln ⁡ x + 2 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados