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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 34

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

34 . ∫ d x 5 + 4 sec ⁡ x    

Passo 1

Para começar a resolver a integral vamos aplicar uma substituição simples inicialmente da forma:

u = x 2

d u = 1 2 d x ⇒ 2 d u = d x

Assim nossa integral fica:

∫ d x 5 + 4 sec ⁡ x   = ∫ 2 5 + 4 sec ⁡ 2 u   d u

Passo 2

Agora iremos aplicar outra substituição da forma:

s = t g   u

d s = sec 2 ⁡ u   d u ⇒ d u = d s sec 2 ⁡ u = d s ( t g 2 u + 1 ) = d s s 2 + 1

Antes de fazer essa substituição na integral, vamos mexer na integral um pouco.

∫ 2 5 + 4 sec ⁡ 2 u   d u = 2 ∫ 1 5 + 4 1 cos ⁡ 2 u d u

= 2 ∫ 1 5 + 4 cos 2 ⁡ u - s e n 2 u d u

Passo 3

Agora temos que ter uma boa visão, pois como definimos s = t g   u vamos pensar assim:

s = t g   u ⇒ t g   u = s

Mas sabemos que tg é cateto oposto sobre cateto adjacente, então temos que:

c . o = s     e     c . a = 1

Para saber quanto vale o sen e o cos precisamos saber quem é a hipotenusa, mas sabemos que:

c . o 2 + c . a 2 = h 2 ⇒ h 2 = s 2 + 1 2 ⇒ h = s 2 + 1 2

Assim:

s e n   u = c . o h ⇒ s s 2 + 1 2

E

cos ⁡ u = c . a h ⇒ 1 s 2 + 1 2

Passo 4

Agora aplicando as observações feitas no passo 3 na integral e substituindo d u = d s s 2 + 1 , temos:

2 ∫ 1 5 + 4 cos 2 ⁡ u - s e n 2 u d u = 2 ∫ 1 5 + 4 1 - s 2 s 2 + 1 ⋅ d s s 2 + 1

Vamos manipular o denominador separadamente para ficar mais claro.

5 + 4 1 - s 2 s 2 + 1 ⋅ s 2 + 1 = ( 5 s 2 + 5 ) + 4 s 2 + 1 2 1 - s 2

= 5 s 2 + 5 1 - s 2 + 4 s 4 + 2 s 2 + 1 1 - s 2

= 5 s 2 - 5 s 4 + 5 - 5 s 2 + 4 s 4 + 8 s 2 + 4 1 - s 2 = - s 4 + 8 s 2 + 9 1 - s 2

Nossa integral fica:

2 ∫ 1 5 + 4 1 - s 2 s 2 + 1 ⋅ d s s 2 + 1 = 2 ∫ d s - s 4 + 8 s 2 + 9 1 - s 2

= 2 ∫ 1 - s 2 - s 4 + 8 s 2 + 9 d s = 2 ∫ s 2 - 1 s 4 - 8 s 2 - 9 d s

Passo 5

Pegando esse denominador vemos que se resolvermos a seguinte equação:

s 4 - 8 s 2 - 9 = 0

Teremos quatro possíveis valores para s, que são:

s = 3 ; s = - 3 ; s = i ; s = - i

Assim podemos fatorar o denominador da seguinte maneira:

s 4 - 8 s 2 - 9 = ( s 2 + 1 ) ( s - 3 ) ( s + 3 )

Nossa integral fica:

2 ∫ s 2 - 1 s 4 - 8 s 2 - 9 d s = 2 ∫ s 2 - 1 ( s 2 + 1 ) ( s - 3 ) ( s + 3 ) d s

Passo 6

Agora para separar essa integral vamos usar frações parciais.

s 2 - 1 ( s 2 + 1 ) ( s - 3 ) ( s + 3 ) = A s + B ( s 2 + 1 ) + C ( s - 3 ) + D ( s + 3 )

A s + B s 2 + 1 + C s - 3 + D s + 3 = A s + B s 2 - 9 + C s 2 + 1 s + 3 + D s 2 + 1 s - 3 s 2 + 1 s - 3 s + 3

Avaliando o numerador temos:

A s 3 - 9 A s + B s 2 - 9 B + C s 3 + 3 C s 2 + C s + 3 C + D s 3 - 3 D s 2 + D s - 3 D

= s 3 A + C + D + s 2 B + 3 C - 3 D + s - 9 A + C + D + ( - 9 B + 3 C - 3 D )

Logo:

A + C + D = 0

B + 3 C - 3 D = 1 ⇒ 3 C - 3 D = 1 - B

- 9 A + C + D = 0

- 9 B + 3 C - 3 D = - 1 ⇒ 3 C - 3 D = - 1 + 9 B ⇒ 1 - B = - 1 + 9 B ⇒ 10 B = 2 ⇒ B = 1 5

Logo:

C = 2 15 ; D = - 2 15 ; A = 0

Assim:

A s + B ( s 2 + 1 ) + C ( s - 3 ) + D ( s + 3 ) = 1 5 ( s 2 + 1 ) + 2 15 ( s - 3 ) - 2 15 ( s + 3 )

Nossa integral se transforma em:

2 ∫ s 2 - 1 ( s 2 + 1 ) ( s - 3 ) ( s + 3 ) d s = 2 ∫ 1 5 s 2 + 1 d s + ∫ 2 15 s - 3 d s - ∫ 2 15 s + 3 d s

Passo 7

Vamos agora resolver as integrais uma de cada vez.

Primeiro vamos resolver:

∫ 1 5 s 2 + 1 d s = 1 5 ∫ 1 s 2 + 1 d s

Para resolver vamos lembrar disso aqui:

∫ d x x 2 + 1 = a r c t g   x  

Logo:

1 5 ∫ 1 s 2 + 1 d s = 1 5 a r c t g   s

Vamos resolver:

∫ 2 15 s - 3 d s = 2 15 ∫ d s s - 3 = 2 15 ln ⁡ ( s - 3 )

∫ 2 15 s + 3 d s = 2 15 ∫ d s s + 3 = 2 15 ln ⁡ ( s + 3 )

Passo 8

Então temos que:

2 ∫ d s 5 s 2 + 1 + ∫ 2 d s 15 s - 3 - ∫ 2 d s 15 s + 3 = 2 5 a r c t g   s + 4 15 ln ⁡ ( s - 3 ) - 4 15 ln ⁡ ( s + 3 )

Agora para obter o resultado final precisamos reverter as substituições feitas.

s = t g   u

2 5 a r c t g ( t g   u ) + 4 15 ln ⁡ ( t g   u - 3 ) - 4 15 ln ⁡ ( t g   u + 3 )

u = x 2

2 5 a r c t g t g   x 2 + 4 15 ln ⁡ t g   x 2 - 3 - 4 15 ln ⁡ t g   x 2 + 3

Resposta

∫ d x 5 + 4 sec ⁡ x   = 2 5 a r c t g t g   x 2 + 4 15 ln ⁡ t g   x 2 - 3 - 4 15 ln ⁡ t g   x 2 + 3 + c

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