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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 54

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

5 4 .   ∫ t g   x   s e n   x d x

Passo 1

Pela trigonometria sabemos que:

t g   x = s e n   x cos ⁡ x

s e n 2 x = 1 - cos 2 ⁡ x

Então:

∫ t g   x   s e n   x d x =   ∫ s e n   x cos ⁡ x   s e n   x d x

= ∫ s e n 2 x cos ⁡ x

= ∫ 1 - cos 2 ⁡ x cos ⁡ x   d x

Passo 2

Integrando:

∫ 1 - cos 2 ⁡ x cos ⁡ x   d x =   ∫ 1 cos ⁡ x d x -   ∫ cos ⁡ x   d x

Sabemos que:

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

Então:

∫ sec ⁡ x d x -   ∫ cos ⁡ x   d x = ln ⁡ ( sec ⁡ x + t g   x ) - s e n   x + c

Resposta

∫ t g   x   s e n   x d x = ln ⁡ ( sec ⁡ x + t g   x ) - s e n   x + c

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