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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.6 - Ex. 14

Calcular a integral indefinida.

int (d x)/(x (x^2 - x + 1)^2)

Passo 1

Aqui a gente tem um termo linear e um termo quadrático irredutível repetido. A gente tem que fazer frações parciais assim então:

(1)/(x (x^2 - x + 1)^2) = (A)/(x) + (B x + C)/(x^2 - x + 1) + (D x + E)/((x^2 - x + 1)^2)

Beleza, vamos descobrir esses A , B , C , D e E agora.

Eliminando os denominadores, a gente tem:

1 = A (x^2 - x + 1)^2 + (B x + C) x (x^2 - x + 1) + (D x + E) ( x )

Passo 2

Vamos expandir isso:

1 = A (x^4 - 2 x^3 + 3 x^2 - 2 x + 1) + (B x + C) (x^3 - x^2 + x) + D x^2 + E x

Pra que isso seja verdadeiro, a gente precisa que:

{[[A + B = 0],[- 2 A - B + C = 0],[3 A + B - C + D = 0],[- 2 A + C + E = 0],[A = 1]])

E daqui a gente tira que A = 1 ; B = - 1 ; C = 1 ; D = - 1 ; E = 1 .

Passo 3

Podemos voltar pra nossa integral agora com:

I = int (1)/(x) + (- x + 1)/(x^2 - x + 1) + (- x + 1)/(x^2 - x + 1) d x

Vamos separar e dar uma ajeitada nessas integrais...

int (1)/(x) d x + (1)/(2) int (- 2 x - 1 + 1)/(x^2 - x + 1) d x + int (d x)/(x^2 - x + 1) + (1)/(2) int (- 2 x + 1 - 1)/((x^2 - x + 1)^2) d x + int (d x)/((x^2 - x + 1)^2)

Integrando cada uma agora, a gente fica com:

ln | x | - (1)/(2) ln |x^2 - x + 1| + (1)/(2 (x^2 - x + 1)) + (5 sqrt(3))/(9) a r c t g (2 x - 1)/(sqrt(3)) + (x + 1)/(3 (x^2 - x + 1)) + C

E pronto! Essa coisa linda aí é nossa integral😉

Resposta

ln | x | - (1)/(2) ln |x^2 - x + 1| + (1)/(2 (x^2 - x + 1)) + (5 sqrt(3))/(9) a r c t g (2 x - 1)/(sqrt(3)) + (x + 1)/(3 (x^2 - x + 1)) + C

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