Calcular a integral indefinida.

∫ d x x x 2 - x + 1 2

Passo 1

Aqui a gente tem um termo linear e um termo quadrático irredutível repetido. A gente tem que fazer frações parciais assim então:

1 x x 2 - x + 1 2 = A x + B x + C x 2 - x + 1 + D x + E x 2 - x + 1 2

Beleza, vamos descobrir esses A ,   B ,   C ,   D   e   E agora.

Eliminando os denominadores, a gente tem:

1 = A x 2 - x + 1 2 + B x + C x x 2 - x + 1 + D x + E ( x )

Passo 2

Vamos expandir isso:

1 = A x 4 - 2 x 3 + 3 x 2 - 2 x + 1 + B x + C x 3 - x 2 + x + D x 2 + E x

Pra que isso seja verdadeiro, a gente precisa que:

A + B = 0 - 2 A - B + C = 0 3 A + B - C + D = 0 - 2 A + C + E = 0 A = 1

E daqui a gente tira que A = 1 ; B = - 1 ; C = 1 ; D = - 1 ; E = 1 .

Passo 3

Podemos voltar pra nossa integral agora com:

I = ∫ 1 x + - x + 1 x 2 - x + 1 + - x + 1 x 2 - x + 1 d x

Vamos separar e dar uma ajeitada nessas integrais...

∫ 1 x d x + 1 2 ∫ - 2 x - 1 + 1 x 2 - x + 1   d x + ∫ d x x 2 - x + 1 + 1 2 ∫ - 2 x + 1 - 1 x 2 - x + 1 2 d x + ∫ d x x 2 - x + 1 2

Integrando cada uma agora, a gente fica com:

ln ⁡ | x | - 1 2 ln ⁡ x 2 - x + 1 + 1 2 x 2 - x + 1 + 5 3 9 a r c t g   2 x - 1 3 + x + 1 3 x 2 - x + 1 + C

E pronto! Essa coisa linda aí é nossa integral😉

Resposta

ln ⁡ | x | - 1 2 ln ⁡ x 2 - x + 1 + 1 2 x 2 - x + 1 + 5 3 9 a r c t g   2 x - 1 3 + x + 1 3 x 2 - x + 1 + C

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