Calcule a integral indefinida.

∫ 3 x 2 2 x 3 - x 2 - 2 x + 1 d x

Passo 1

Para calcular essa integral, primeiro vamos manipular um pouco:

∫ 3 x 2 2 x 3 - x 2 - 2 x + 1 d x = ∫ 3 x 2 2 2 x 3 - x 2 - 2 x + 1 2 d x = 3 2 ∫ x 2 x 3 - x 2 2 - x + 1 2 d x =

= 3 2 ∫ x 2 x - 1 x + 1 x - 1 2 d x

Vamos usar Frações Parciais, analisando o denominador vemos que ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

x 2 x - 1 x + 1 x - 1 2 = A x - 1 + B x + 1 + C x - 1 2  

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x - 1 x + 1 x - 1 2 :

x 2 = A x + 1 x - 1 2 + B x - 1 x - 1 2 + C x - 1 x + 1

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

x 2 = A x + 1 x - 1 2 + B x - 1 x - 1 2 + C x - 1 x + 1

x 2 = A x 2 - x 2 + x - 1 2 + B x 2 - x 2 - x + 1 2 + C x 2 + x - x - 1

x 2 = A x 2 + x 2 - 1 2 + B x 2 - 3 x 2 + 1 2 + C x 2 - 1

x 2 = A x 2 + A x 2 - 1 2 A + B x 2 - 3 B x 2 + B 2 + C x 2 - C

x 2 = x 2 A + B + C + x A 2 - 3 B 2 + - A 2 + B 2 - C

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes x 2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B + C = 1 A 2 - 3 B 2 = 0 - A 2 + B 2 - C = 0

Vamos somar as três:

A = 1

Substituindo na segunda achamos B :

3 B = A → B = A 3 = 1 3

Substituindo na primeira achamos C :

A + B + C = 1 → C = 1 - A - B = 1 - 1 - 1 3 = - 1 3

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ x 2 x - 1 x + 1 x - 1 2 d x = ∫ 1 x - 1 + 1 3 x + 1 + - 1 3 x - 1 2 d x =

= ∫ 1 x - 1 + 1 3 x + 1 - 1 3 x - 1 2 d x =

= ∫ 1 x - 1 d x + 1 3 ∫ 1 x + 1 d x - 1 3 ∫ 1 x - 1 2 d x

Agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Passo 3

Com a primeira, vamos usar a Regra da Substituição:

u = x - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 x - 1 d x = ∫ 1 u d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

∫ 1 u d u = ln ⁡ u + C

Passo 4

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na segunda:

v = x + 1

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

1 3 ∫ 1 x + 1 d x = 1 3 ∫ 1 v d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

1 3 ∫ 1 v d v = 1 3 ln ⁡ v + C

Passo 5

Vamos usar a Regra da Substituição por último na terceira:

r = x - 1 2

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

- 1 3 ∫ 1 x - 1 2 d x = - 1 3 ∫ 1 r d r

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

- 1 3 ∫ 1 r d r = - 1 3 ln ⁡ r + C

Passo 6

Agora é só juntar tudo:

∫ 1 x - 1 d x + 1 3 ∫ 1 x + 1 d x - 1 3 ∫ 1 x - 1 2 d x = ln ⁡ u + 1 3 ln ⁡ v - 1 3 ln ⁡ r + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 3 x 2 2 x 3 - x 2 - 2 x + 1 d x = 3 2 ∫ x 2 x - 1 x + 1 x - 1 2 d x =

= 3 2 ln ⁡ u + 1 3 ln ⁡ v - 1 3 ln ⁡ r + C = 3 2 ln ⁡ x - 1 + 1 2 ln ⁡ x + 1 - 1 2 ln ⁡ x - 1 2 + C

Resposta

∫ 3 x 2 2 x 3 - x 2 - 2 x + 1 d x = 3 2 ln ⁡ x - 1 + 1 2 ln ⁡ x + 1 - 1 2 ln ⁡ x - 1 2 + C

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