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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 24

Calcule a integral indefinida.

int (1 + tg theta)^5 sec^2 theta d theta

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular a integral dada por

int (1 + tg theta)^5 sec^2 theta d theta

Parece complicado?

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição

int f (x) d x -> int f (u) d u

Então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos tg theta e sec^2 theta , podemos então usar a mudança de variável:

u = 1 + tg theta

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 0 + sec^2 theta d theta = sec^2 theta d theta

Vamos agora fazer a substuição:

int (1 + tg theta)^5 sec^2 theta d theta = int u^5 d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int u^5 d u = (u^(5 + 1))/(5 + 1) = (u^6)/(6) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo.

int (1 + tg theta)^5 sec^2 theta d theta = int u^5 d u = (u^6)/(6) + C

Se u = 1 + tg theta , então

int (1 + tg theta)^5 sec^2 theta d theta = ((1 + tg theta)^6)/(6) + C

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 🫡

Resposta

int (1 + tg theta)^5 sec^2 theta d theta = ((1 + tg theta)^6)/(6) + C

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