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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.3 - Ex. 5

Nos exercícios 1 a 30, calcule a integral indefinida:

5. ∫ c o t g 3 t d t

Passo 1

Primeiro vamos reescrever a integral da seguinte forma:

∫ c o t g 2 t   c o t g t   d t

Vamos utilizar a identidade trigonométrica:

c o t g 2 x = c o s s e c 2 x - 1

Ficamos com:

∫   c o t g t ( c o s s e c 2 x - 1 ) d t

Faremos agora a seguinte substituição de variáveis:

u = c o s s e c t → d u = - c o t g t   c o s s e c t   d t

Isolamos dt:

d t = - 1 c o t g t c o s s e c t d u

Substituindo na integral:

- ∫   u 2 - 1 u d u

- ∫ u - 1 u d u

Integrando cada termo:

l n u - u 2 2 + c

Retornado para a variável t, teremos:

l n c o s s e c t - c o s s e c 2 t 2 + c

Resposta

l n c o s s e c t - c o s s e c 2 t 2 + c

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