Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 45
Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
Primeiramente, vamos verificar se a Regra de l’Hôspital é apropriada.
Bem, sabemos que para aplicarmos esta Regra temos que ter a seguinte estrutura no limite:
O limite dado pelo enunciado não apresenta esta forma, porém podemos reescreve-lo de forma que atenda a este requisito. Basta lembrar que
Logo, temos que
Pronto!! Já podemos verificar se a regra é aplicável ou não.
Analisando o limite acima, vemos que quando ,
Para ser apropriada, devemos obter uma forma indeterminada do tipo ou .
Neste caso, obtemos a forma , logo a Regra de l’Hôspital é aplicável.
Passo 2
Para resolver este limite, vamos utilizar a Regra de l’Hôspital, onde
e para que o limite exista.
Vamos chamar e . As derivadas dessas funções são
Em , . Portanto, está dentro das condições da Regra.
Substituindo esses valores, obtemos