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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 1.4 - Ex. 10

Nos exercícios 8 a 10, o conjunto S representa uma chapa plana, e T ( x , y ) , a temperatura nos pontos da chapa. Determinar as isotermas, representando-as geometricamente.

S = { ( x , y ) / x 2 + y 2 ≤ 25 }       ; T ( x , y ) = 2 ( 4 - x 2 - y 2 )

Passo 1

A função dada é T x , y = 2 ( 4 - x 2 - y 2 ) e como T ( x , y ) = k , temos

2 ( 4 - x 2 - y 2 ) = k

4 - x 2 - y 2 = k 2

x 2 + y 2 = 4 - k 2

Logo, o intervalo das curvas de nível é:

0 ≤ 4 - k 2 ≤ 25

0 ≤ 8 - k ≤ 50

- 8 ≤ - k ≤ 42

8 ≥ k ≥ - 42

- 42 ≤ k ≤ 8

Como essas representações são extensas, utilizamos um software para obter a representação gráfica. Assim, temos:

Resposta

Gráfico.

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Desenhar algumas curvas de nível e esboçar o gráfico:(o) z = 1 4 x 3
Desenhar algumas curvas de nível e esboçar o gráfico:(q) z = 3 y 2 - 2 x 2
Desenhar algumas curvas de nível e esboçar o gráfico:(o) z = 2 x 2 - 3 y 2
Encontrar a curva de interseção do gráfico da função dada com os planos dados, representando graficamente:(a) z = x 2 + y 2 com os planos z = 1 ; x = 1 ; y = 1 .
Encontrar a curva de interseção do gráfico da função dada com os planos dados, representando graficamente:(b) z = x 2 + y 2 com os planos z = 1 ; x = 0 ; y = x .