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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.Revisão - Ex. 68

Nos exercícios de 63 a 68, defina f   ο   g e determine os números nos quais f   ο   g é contínua.

68) f x = s g n   x ; g x = x 2 - x

Passo 1

Nós queremos obter a função composta f   o   g = f ( g x ) . Para isso substituiremos a função g ( x ) na função f ( x ) .

Mas antes é preciso recordar a função sgn x:

s g n   x = - 1 ,   s e   x < 0 0 ,   s e   x = 0 1 ,   s e   x > 0

f g x = g ( x )

f g x = - 1 ,   s e   x 2 - 1 < 0 0 ,   s e   x 2 - 1 = 0 1 ,   s e   x 2 - 1 > 0

Isolando x nas condições, temos:

f g x = 1 ,                   s e   x < 0 0 ,                 s e   x =   0 - 1 ,   s e - 0 < x < 1 0 ,                           s e   x = 1 1 ,                           s e   x > 1

Passo 2

Agora precisamos determinar os números para os quais f g x   é contínua.

Para isso calcularemos os limites laterais para os pontos limítrofes ( x = - 1   e   x = 1 ) das condições:

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = - 1

lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = 1

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = 1

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = - 1

Portanto a função é descontínua em x = 0   e   e m   x = 1 .

Portanto a função é contínua no intervalo - ∞ , 0   ∪   0,1   ∪   1 , ∞ .

Resposta

f o g = f g x = 1 ,                   s e   x < 0 0 ,                 s e   x =   0 - 1 ,   s e - 0 < x < 1 0 ,                           s e   x = 1 1 ,                           s e   x > 1

A função é contínua no intervalo: - ∞ , 0   ∪   0,1   ∪   1 , ∞

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representada graficamente na figura a seguir: f é contínua em quais valores de x?
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Em que pontos a função abaixo é contínua? y = 1 x + 1 - x 2 2
Em que pontos as funções deixam de ser contínuas? Em que pontos, se houver, as descontinuidades são removíveis? E não removíveis? Justifique suas respostas.