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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Exercícios práticos - Ex. 2

Nos Exercícios 1 e 2, desenhe as curvas e esboce seus vetores velocidade e aceleração nos valores fornecidos de t. Em seguida, escreva a na forma a = a T T + a N N sem determinar T e N e encontre o valor de κ nos valores determinados de t.

r t = 3 sec ⁡ t i + 3 t g   t j ,   t = 0

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de funções vetoriais e movimentos no espaço.

Vamos agora resolver os exercícios práticos sobre movimento no plano.

A partir do enunciado temos que:

x = 3 sec ⁡ t   e   y = 3 t g   t

De onde podemos perceber que:

a = 3   e   b = 3

Logo, teremos a equação da hipérbole:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 = > x 2 3 - y 2 3 = sec 2 ⁡ t - t g 2   t = 1

Ou ainda:

x 2 - y 2 = 3

E derivando r:

v t = d r t d t = 3 sec ⁡ t   t g   t i + 3 sec 2 ⁡ t j

a t = d v t d t = 3 sec ⁡ t   t g 2   t + 3 sec 3 ⁡ t i + - 2 3 sec 2 ⁡ t   t g   t j

Passo 2

Para t = 0 teremos:

r 0 = 3 sec ⁡ 0 i + 3 t g   0 j = 3 i

v 0 = 3 sec ⁡ 0   t g   0 i + 3 sec 2 ⁡ 0 j = 3 j

a 0 = 3 sec ⁡ 0   t g 2   0 + 3 sec 3 ⁡ 0 i + - 2 3 sec 2 ⁡ 0   t g   0 j = 3 i

Passo 3

Lembrando que:

a T = d d t v ,   a N = a 2 - a T 2   e   κ = a N v 2

Fazemos:

v = 3 sec ⁡ t   t g   t 2 + 3 sec 2 ⁡ t 2 = 3 sec 2 ⁡ t t g 2   t + 3 se c 4 ⁡ t

a = 3 sec ⁡ t   t g 2   t + 3 sec 3 ⁡ t 2 + - 2 3 sec 2 ⁡ t   t g   t =

= 3 sec 2 ⁡ t   t g 4 t + 6 sec 4 ⁡ t   t g 2   t + 3 sec 6 ⁡ t + 12 sec 4 ⁡ t   t g 2   t =

= 3 sec 2 ⁡ t   t g 4 t + 18 sec 4 ⁡ t   t g 2   t + 3 sec 6 ⁡ t

Daí, temos que:

a T = d d t v = d d t 3 sec 2 ⁡ t t g 2   t + 3 se c 4 ⁡ t = 6 sec 2 ⁡ t   t g 3   t + 18 sec 4 ⁡ t   t g   t 2 3 sec 2 ⁡ t t g 2   t + 3 se c 4 ⁡ t

Em t = 0 teremos:

a T = 0   e   a N = a 2 - 0 = 3 sec 2 ⁡ 0   t g 4   0 + 18 sec 4 ⁡ 0   t g 2   0 + 3 sec 6 ⁡ 0 2 = 3

= > a = 0 T + 3 N   e   κ = 3 3 sec 2 ⁡ 0 t g 2   0 + 3 se c 4 ⁡ 0 2 = 3 3

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

Ver passo a passo.

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