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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.5 - Ex. 7

Nos Exercícios 7 e 8, encontre r , T , N e B no valor dado de t. Em seguida, encontre equações para os planos osculador, normal e retificador naquele valor de t.

7. r t = cos ⁡ t i + sen ⁡ t j - k ,     t = π 4

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiramente, temos que r no ponto π / 4 é igual a

r π 4 = cos ⁡ π 4 i + se n ⁡ π 4 j - k

Nós sabemos que cos ⁡ π 4 = sen ⁡ π 4 = 1 2 , com isso,

r π 4 = i 2 + j 2 - k

Para o caso de T ( t ) , temos a seguinte fórmula

T t = v v = - sen ⁡ t i + cos ⁡ t j   ( 1 )

Logo, fazendo a substituição,

T t = - i 2 + j 2

E para N

N = T ˙ T ˙ = - cos ⁡ t i + sen ⁡ t j   2

Novamente, trocando os termos

N π 4 = - i 2 - j 2

Mas e o B ? Esse termo é basicamente o produto vetorial entre T e N , com isso

B = i j k - sen ⁡ t cos ⁡ t 0 - cos ⁡ t - sen ⁡ t 0 = sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t k = k

Passo 2

Como a normal ao plano osculador é B = k e o ponto 1 2 , 1 2 , - 1 reside nele, podemos obter sua equação, pois o plano seguinte é

P : 0 ∙ x - 1 2 + 0 ∙ y - 1 2 - z - - 1 = 0

Portanto,

P : z = - 1

Como a normal ao plano normal é T π 4 = - i 2 + j 2 e o ponto 1 2 , 1 2 , - 1 reside nele, podemos obter sua equação, pois o plano seguinte é

P : - 1 2 ∙ x - 1 2 + 1 2 ∙ y - 1 2 - 0 ∙ z - - 1 = 0

Portanto,

P : y = x

Como a normal ao plano retificador é N π 4 = - i 2 + j 2 e o ponto 1 2 , 1 2 , - 1 reside nele, podemos obter sua equação, pois o plano seguinte é

P : - 1 2 ∙ x - 1 2 - 1 2 ∙ y - 1 2 - 0 ∙ z - - 1 = 0

Portanto,

P : x + y = 2

Resposta

r π 4 = i 2 + j 2 - k

T π 4 = - i 2 + j 2

N π 4 = - i 2 - j 2

B π 4 = k

P o s c u l a n t e : z = - 1

P n o r m a l : y = x

P r e t i f i c a d o r : x + y = 2

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