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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 50e

Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:

e) z = s e n 2 x y x 2 + y 2

Passo 1

Devemos analisar as derivadas parciais de z em relação a x e y :

∂ z ∂ x = 2 y ⋅ x 2 + y 2 - 1 2 x 2 + y 2 - 1 2 ⋅ 2 x ⋅ 2 x y x 2 + y 2 cos ⁡ 2 x y x 2 + y 2 =

= 2 y x 2 + y 2 - 2 x 2 y x 2 + y 2 x 2 + y 2 cos ⁡ 2 x y x 2 + y 2

E:

∂ z ∂ y = 2 x ⋅ x 2 + y 2 - 1 2 x 2 + y 2 - 1 2 ⋅ 2 y ⋅ 2 x y x 2 + y 2 cos ⁡ 2 x y x 2 + y 2 =

= 2 x x 2 + y 2 - 2 x y 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 cos ⁡ 2 x y x 2 + y 2

As derivadas não são diferenciáveis em (0,0), mas nos demais pontos as derivadas parciais de z em relação a x e y são contínuas, z é diferenciável em R 2 - { 0,0 } .

Resposta

z é diferenciável em R 2 - { 0,0 } .

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Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:l) f x , y = x 3 y x 2 + y 2 , ( x ,y ) ≠ ( 0 ,0 ) 0 ,x ,y = ( 0 ,0 )
Verificar se as funções dadas são diferenciáveis na origem:d) f x , y = y 4 + 3 x 2 y 2 + 2 y x 3 x 2 + y 2 2 ,( x , y ) ≠ ( 0,0 )0 , x , y = ( 0,0 )
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:a) f x , y = x 2 y + x y 2
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:i) z = y x
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:b) z = e x y 2