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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 44

Um objeto com massa m se move com função posição r → t = a s e n   t ⋅ i → + b c o s   t ⋅ j → , + c t ⋅ k → , 0 ≤ t ≤ 2 π . Encontre o trabalho realizado sobre o objeto durante este período de tempo.

Passo 1

Fala, meus amigos! Tranquilos?

Nossa questão quer o trabalho realizado por um objeto com função posição:

r → t = a s e n   t ⋅ i → + b c o s   t ⋅ j → , + c t ⋅ k →

Com t variando:

0 ≤ t ≤ 2 π

O trabalho é calculado por

W = ∫ a b F → r t ⋅ r ' t ⋅ d t

Mas F → é o nosso vetor força e o enunciado nos deu o vetor posição do objeto. Nosso vetor da função força é:

F → t = m ⋅ a → ( t )

Note que também não temos o vetor aceleração, mas temos o vetor posição dado no enunciado. E lá da física nós temos que a aceleração é a segunda derivada da função posição. Então vamos derivar r → t duas vezes e vamos obter nossa aceleração. Daí é só substituir na integral para encontrarmos o trabalho efetuado.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar encontrando a aceleração da partícula. Assim, precisamos derivar duas vezes a função posição para encontrarmos. Logo

Calculando a derivada de r → ( t ) , chegamos que

v → ( t ) = d r → d t = a ⋅ cos ⁡ t ⋅ i → - b ⋅ cos ⁡ t ⋅ j → + c ⋅ k →

E a segunda derivada ficará

a → t = - a ⋅ sin ⁡ t ⋅ i → - b ⋅ cos ⁡ t ⋅ j → + 0 ⋅ k →

Ficando então com

F → t = m ⋅ - a ⋅ sin ⁡ t ⋅ i → - b ⋅ cos ⁡ t ⋅ j →

Passo 3

Usando a definição dada acima para a integral

W = ∫ a b F → r t ⋅ r ' t ⋅ d t

temos que

W = ∫ 0 2 π ( m - a sin ⁡ t ⋅ i → - b cos ⁡ t ⋅ j → ) ( a cos ⁡ t ⋅ i → - b cos ⁡ t ⋅ j → + c ⋅ k → ) d t =

Multiplicando cada componente com componente dos vetores e somando, temos:

= ∫ 0 1 - m a 2 cos ⁡ t sin ⁡ t + m b 2 sin ⁡ t cos ⁡ t d t

Tirando nossas constantes m , b e a para fora e resolvendo a integral, temos:

= m ⋅ b 2 - a 2 ⋅ 1 2 ⋅ sin 2 ⁡ t 0 2 ⋅ π =

Aplicando os limites de integração:

= m b 2 - a 2 ⋅ 1 2 ⋅ sin 2 ⁡ 2 π - 1 2 ⋅ sin 2 ⁡ 0 = 1 2 m ( b 2 - a 2 )

Resposta

W = 1 2 m ( b 2 - a 2 )

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Seja γ 1 : a , b → R 2 uma curva de classe C 1 e seja f x , y um campo escalar contínuo na imagem de γ 1 . Seja γ 2 : a , b → R 2 dada por γ 2 t = γ 1 a + b - t Prove que ∫ γ 1 f x , y d s = ∫ γ 2 f x
Calcule ∫ C f d s , onde a )f x ,y = x + y e C é a fronteira do triângulo de vértices 0 ,0 ,1 ,0 e 0 ,1 .
4. Calcule ∫ C F ⋅ dr → Ondeb. Fx , y = x x 2 + y 2 , y x 2 + y 2 e C é a circunferência de centro na origem e raio a , percorrida no sentido anti-horario
4. Calcule int_C F * d vec r OndeF (x , y) = (x^2 - 2 x y , y^2 - 2 x y) e C é a parábola y = x^2 de (- 2,4) a (1,1)
4. Calcule int_C F * d vec r Onded. F (x , y) = (x^2 + y^2 , x^2 - y^2) e C é a curva de equação y = 1 - |1 - x| de (0,0) a(2,0)