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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 5.10 - Ex. 5

Nos exercícios 3 a 16, determinar os pontos críticos das funções dadas.

5-   z = 2 x 4 -   2 y 4 - x 2 +   y 2 +   1

Passo 1

Galera, o que nós temos que fazer aqui é resolver o seguinte sistema:

∂ f ∂ x = 0  

∂ f ∂ y = 0  

Ou seja, as derivadas parciais da função z = f(x,y) tem que ser iguais a zero.

Passo 2

Dessa forma, temos que:

∂ f ∂ x =   8 x 3 - 2 x

∂ f ∂ y =   - 8 y 3 + 2 y

Assim,

8 x 3 -   2 x = 0

2 x   4 x 2 -   1 = 0  

  2 x = 0   e   4 x 2 = 1

x = 0   e   x =   ± 1 2

- 8 y 3 + 2 y = 0

-   2 y   4 y 2 - 1 =   0

- 2 y = 0   e   4 y 2 =   1

y = 0   e   y =   ± 1 2

Logo, temos nove pontos críticos : ( 0,0 ) ,   ( -   1 2 , 0 ) ,   ( 1 2 , 0 ) , ( 0 , 1 2 ) ,   0 ,   - 1 2 ,   1 2 , 1 2 ,   1 2 ,   - 1 2 ,   - 1 2 , 1 2 e   ( - 1 2 ,   - 1 2 )

Essa foi fácil, né ?!

Resposta

( 0,0 ) ,   ( -   1 2 , 0 ) ,   ( 1 2 , 0 ) , ( 0 , 1 2 ) ,   0 ,   - 1 2 ,   1 2 , 1 2 ,   1 2 ,   - 1 2 ,   - 1 2 , 1 2 e   ( - 1 2 ,   - 1 2 )

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