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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 34

Nos Exercícios 25-40, determine se as séries convergem absolutamente, convergem condicionalmente ou divergem. Justifique suas respostas.

34. ∑ n = 1 ∞ - 1 n 3 n 2 n 3 + 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos considerar que

∑ n = 1 ∞ - 1 n a n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 3 n 2 n 3 + 1

Considerando f ( x ) como 3 x 2 x 3 + 1 , temos que diferenciar a respeito a x , nós temos que

f ' x = d d x 3 x 2 x 3 + 1 = 3 x ( 2 - x 3 ) x 3 + 1 2

Agora, nós vemos que f ' x < 0 quando x ≥ 2 , isto nos fornece que a n + 1 < a n para n ≥ 2 . Com isso, nós temos que o limite é igual a

lim n → ∞ ⁡ 3 n 2 n 3 + 1

Passo 2

Agora, para verificar a convergência absoluta, aplique o teste de comparação de limite com a série divergente ∑ n = 1 ∞ 1 n   , nós obtemos que

lim n → ∞ ⁡ 3 n 2 n 3 + 1 1 n = lim n → ∞ ⁡ 3 n 3 n 3 + 1

Desenvolvendo os termos,

lim n → ∞ ⁡ 3 n 2 n 3 + 1 1 n = lim n → ∞ ⁡ 3 n 3 n 3 1 + 1 n 3 = lim n → ∞ ⁡ 3 1 + 1 n 3

Com isso, nós temos o seguinte resultado

lim n → ∞ ⁡ 3 n 2 n 3 + 1 1 n = 3 1 + 0 = 3

Assim a série não converge absolutamente, pelo teste de comparação no limite. Portanto, a série ∑ n = 1 ∞ - 1 n 3 n 2 n 3 + 1 é condicionalmente convergente.

Resposta

Condicionalmente convergente!

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