Nos Exercícios 15-48, determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas.

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar a sequência, dado por:

Tal sequência é positiva para todo n, vamos definir a função e encontrar sua derivada:

Como a derivada é negativa para todo valor de n, temos que a sequência é decrescente.

Por fim, calculando o limite infinito de temos:

Como a sequência é decrescente e tende para zero, pelo teste de Leibniz, a série alternada converge.

Entretanto, a primeira parcela da série é uma p-série convergente com p > 1. Já a segunda parcela da série é uma p-série divergente com p = 1. E a soma de uma série convergente e uma série divergente resulta numa série divergente.

Sendo assim a série é condicionalmente convergente.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!