Nos Exercícios 15-48, determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 1 n ln ⁡ n  

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar a sequência, dada por:

u n = 1 n ln ⁡ n

Veja que a sequência u n é positiva para todo n. Temos que ln é uma função crescente, porém a sequência u n é decrescente, uma vez que o denominador aumenta estritamente mais rápido que o numerador que é constante.

Assim, calculando o limite infinito de u n temos:

lim n →  ∞ ⁡ 1 n ln ⁡ n =   0

Como a sequência u n é decrescente e tende para zero, pelo teste de Leibniz, a série alternada converge.

Entretanto, a série não converge absolutamente porque 1 n ln ⁡ n <   1 n e através do teste da comparação, como ∑ 1 n é uma p-série divergente então ∑ 1 n ln ⁡ n também diverge. Logo, a série converge condicionalmente.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Condicionalmente convergente.

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